WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції - Курсова робота

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції - Курсова робота

функції у проміжку і коростуючись тим, що другий множник підінтегрального виразу на змінює знака, за узагальненою теоремою про середне можемо написати
,
де міститься між точками и . По відомій властивості неперервної функції, знайдеться в така точка , що , і остаточно
. (12)
Якщо зараз розділити проміжок на рівних частин, то для кожного часткового проміжку будемо мати точную формулу
.
Додавнши ці равенства (при ) почленно отримаємо при звичайних скорочених позначеннях
,
де вираз
і є залишковий член формули прямокутників (1). Так як вираз
також знаходиться між і , то і він представляє одне із значень функції .
Тому остаточно маємо
(13).
При зростанні цей додатковий член спадає приблизно як .
Залишковий член формули трапеції.
Займемось тепер формулою (6) при попередніх здогатках відносно функції . Скориставшись інтерполяційною формулою Лагранжа із залишковим членом можемо написати
.
Інтегруя цю формули від до , знайдемо
,
так що залишковий член формули (6) буде
.
Розмірковуючи, як і вище, і користуючись тим, що другий множник підінтегральної функції і тут не змінює знака, знайдемо
.
Нарешті, для випадку ділення проміжку на рівних частин
(14).
Таким є залишковий член формули трапецій (2). При зростанні він також зменьшуеться приблизно як . Ми бачемо, що застосування формули трапецій приводить до похибки того ж порядку, що і для формули прямокутників.
Залишковий член формули Сімпсона.
Звернемося, нарешті до формули (8). Можно було б, аналогічно тому, як це було зроблено тількі що, знов скористатись формулою Лагранжа з залишковим членом і покласти
(15).
Но ми стикаємося тут з таким станом речей, а саме, проінтегрувавши рівність (15), ми не змогли б спростити інтегральний вираз для додаткового члену за допомогою теореми про середне, бо вираз в підінтегральній функції вже змінює знак на проміжку . Тому ми зробимо інакше.
Вираз
,
яким би не було число , в точках , , приймає одні і тіж значення, що і функція . Легко підібрати число так, щоб і похідна цього виразу при співпадала з похідною . Таким чином, при цьому значенні ми маємо не що інше, як інтерполяційний многчлен Эрміта, який відповідаї простим вузлам , і двукратному вузлу . Скориставшись формулою Эрміта з залишковим членом - в пропушенні існування для функції похідних до четвертого порядку включно - отримаємо:
.
Тепер проінтегрувавши цю равність від до ; ми знайдемо, що
так як
.
Якщо припустити похідну неперервною, то, як і в попередніх випадках, залишковий член формули (8)
,
користуючись тим, що другий множник в підінтергальному виразі не змінює знака, можно підставити в такому вигляді :
.
Якщо проміжок розділити на рівних частин, то - для формули Сімпсона (10) - отримаємо залишковий член у вигляді
(16).
При зростанні цей вираз зменьшується приблизно як ; таким чином, формула Симпсона дійсно більш вигідна, ніж попередні дві формули.
Додаток 1.
Текст программи для автоматичного обчислення інтегралів на мові програмування QBASIC:
'Тут описуються сталі
e = 2.718281828459045#
pi = 3.141592653589793#
'Тут задається від під інтегральної функції
DEF fny# (x#) = e^x# ^2
DEF fncoef# (i#) = (i# MOD 2) * 2 + 2
DEF fnxi# (i#) = a# + i# * h#
DEF fnxis# (i#) = a# + i# * h# / 2
DEF fnxic# (i#) = a# + i# * h# + h# / 2
DEF fnxir# (i#) = a# + i# * h# + h# / 2
CLS
'Тут вводяться межі інтегрування та
'кількість проміжків
INPUT "Введіть нижню межу інтегрування " a#
INPUT "Введіть верхню межу інтегрування " b#
INPUT "Введіть кількість проміжків " n#
'Тут обчислюється крок
h# = (b# - a#) / n#
'Тут обчислюється наближене значення
'інтеграла за методом Сімпсона
integ# = 0
FOR i# = 1 TO ((2 * n#) - 1)
integ# = integ# + fncoef#(i#) * fny#(fnxis#(i#))
NEXT
integ# = integ# + fny#(a#) + fny#(b#)
integ# = integ# * (h# / 6)
PRINT "Simpson = "; integ#
'Тут обчислюється наближене значення
'інтеграла за методом трапецій
integ# = 0
FOR i# = 1 TO (n# - 1)
integ# = integ# + fny#(fnxi#(i#))
NEXT
integ# = integ# + (fny#(a#) + fny#(b#)) / 2
integ# = integ# * h#
PRINT "Trapeze = "; integ#
'Тут обчислюється наближене значення
'інтеграла за методом лівих прямокутників
integ# = 0
FOR i# = 0 TO (n# - 1)
integ# = integ# + fny#(fnxi#(i#))
NEXT
integ# = integ# * h#
PRINT "L Rectangle = "; integ#
'Тут обчислюється наближене значення
'інтеграла за методом центральних прямокутників
integ# = 0
FOR i# = 0 TO n#
integ# = integ# + fny#(fnxic#(i#))
NEXT
integ# = integ# * h#
PRINT "C Rectangle = "; integ#
'Тут обчислюється наближене значення
'інтеграла за методом правих прямокутників
integ# = 0
FOR i# = 1 TO n#
integ# = integ# + fny#(fnxir#(i#))
NEXT
integ# = integ# * h#
PRINT "R Rectangle = "; integ#
Додаток 2.
Далі подані результати роботи програми, яка викладена в додатку 1.
1) в межах від 0 до
n=1000
Метод Сімпсона -8.742278155181581D-08
Метод трапецій -8.742270585611512D-08
Метод лівих прямокутників 3.141505318306509D-03
Метод центральних прямокутників -3.14167628761223D-03
Метод правих прямокутників -6.283265152840917D-03
2) в межах від 0 до
n=1000
Метод Сімпсона 2.000000000000067
Метод трапецій 1.999998355065565
Метод лівих прямокутників 1.999998355202888
Метод центральних прямокутників 1.999995887392223
Метод правих прямокутників 1.999990952591778
3) в межах від 0 до 1
n=1 n=10 n=100 n=1000 n=10000
М-д Сімпсона ,33333333333 ,3333333333333 ,3333333333333 ,3333333333 ,3333333333333
М-д трапецій ,5 ,335 ,33335 ,3333334999999 ,3333333349999
М-д лів. прямокутників 0 ,2850000000000001 ,32835 ,3328334999999 ,3332833349999
М-д центр. прямокутників 2,5 ,44275 ,34342525 ,33433425025 ,3334333425002
М-д правих прсмокутників 2,25 ,4425000000000001 ,3434249999999 ,33433425
,3334333424999
4) в межах від 0 до 1
n=1000
Метод Сімпсона .7468241385662959
Метод трапецій .7468240772530558
Метод лівихпрямокутників .7471401375268841
Метод центральних прямокутників .7471916808878213
Метод правих прямокутників .7461916811378212
5) в межах від 0 до
n=1000
Метод Сімпсона .8323745796964475
Метод трапецій .8323723082182791
Метод лівих прямокутників .8325874590746988
Метод центральних прямокутників .8319367429487694
Метод правих прямокутників .8319318081462942
Висновки.
У данній роботі було розглянуто методи наближених обчислень визначених інтегралів, були виведині формули обчислень, формули додаткових членів. Результати, які наведені в додатку 2 наочно показують, що найбільш вигідним є використання формули Сімпсона.
Література.
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1 М.: 1968.
2. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам.
М.: 1979.
3. Математический практикум. М.: 1960.
Loading...

 
 

Цікаве