WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Вектори, лінійні операції над ними(пошукова робота) - Реферат

Вектори, лінійні операції над ними(пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота
на тему:
Вектори, лінійні операції над ними.
План
" Вектори і скаляри.
" Множення вектора на число.
" Додавання та віднімання векторів.
" Проекція вектора на вісь.
1. Вектори і скаляри
У природі існують величини двох видів: такі, що характеризуються лише своїм числовим значенням, і такі, для характеристики яких крім числового значення ще потрібно знати їх напрямок у просторі. Перші з них називаються скалярними, а другі -векторними.
Так, маса, температура, час, густина, площа, об'єм, довжина відрізка, електричний заряд, опір провідника - скаляри, а сила, момент сили, швидкість, прискорення, напруженість силового поля - векторні величини.
Слід мати на увазі, що одна і та сама величина може розглядатись і як скаляр, і як вектор. Наприклад: сила струму - величина скалярна, бо вона визначається лише величиною заряду незалежно від того, в якому напрямку і під яким кутом до площадки рухаються частинки, що несуть заряд.
Але така характеристика електричного струму неповна. У багатьох випадках потрібно розглядати напрямок, в якому рухаються заряджені частинки. Для врахування напрямку переносу зарядів вводиться вектор густини струму.
Векторна величина геометрично зображається з допомогою направленого відрізка певної довжини і певному масштабі після вибору одиниці масштабу.
Вектор позначається на письмі двома буквами, причому перша-початок вектора, друга - його кінець з вказанням стрілкою напрямку. Наприклад, - вектор, початок якого збігається з точкою , а кінець - з точкою , напрямок - від до . Довжина вектора (інакше - модуль вектора) записується так: .
Часто вектор позначають однією буквою, наприклад . Якщо вектор позначений однією буквою, то часто в книгах її виділяють жирним шрифтом, але без риски. Вектор можна позначати і так: , .
Два вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній прямій або на паралельних прямих.
Вектори називаються компланарними, якщо вони паралельні деякій площині (або лежать в одній площині).
Два вектори називаються рівними тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову довжину і однаковий напрямок, тобто вони розміщені на паралельних прямих.
Звідси випливає, що при паралельному перенесенні вектора одержуємо вектор, рівний даному. Тому початок вектора можна розміщувати у будь-якій точці простору.
Якщо ряд векторів розміщені на різних прямих у просторі (паралельних або непаралельних), то, виходячи з попередніх міркувань, можна вибрати довільну точку в просторі, наприклад , і всі дані вектори перенести паралельно самим собі так, щоб їх початки збігалися з точкою (рис.2.1).
Рис.2.1
Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним.
Очевидно, що коли дано довільний вектор , то поділивши його на його довжину , одержимо одиничний вектор, наприклад , напрямок якого збігається з напрямком вектора , тобто Вектор, довжина якого дорівнює нулю, називається нульовим. Він не має конкретного напрямку.
2. Лінійні операції над векторами
Сумою двох векторів і називається вектор, що є діагоналлю паралелограма, побудованого на даних векторах як на сторонах паралелограма (рис.2.2).
Оскільки вектор можна переносити паралельно самому собі, то з рис.2.2 зрозуміло, що вектор можна сумістити з відрізком ,
Рис.2.2
тоді , а сума Звідсивипливає, що суму двох векторів можна побудувати за правилом трикутника.
У кінці вектора будуємо вектор і початок вектора з'єднуємо з кінцем вектора . В результаті одержимо вектор , що дорівнює сумі векторів і . Це правило можна узагальнити на суму довільної кількості векторів .
Для знаходження суми заданих - векторів будуємо вектор , в його кінці вектор і т.д., в кінці вектора будуємо вектор . Якщо тепер з'єднати початок вектора з кінцем вектора , одержимо вектор , що дорівнюватиме сумі двох векторів. Це правило додавання векторів називається правилом многокутника.
Якщо задано вектор , то вектор матиме ту саму довжину, що і , але оскільки напрямки цих двох векторів протилежні, то . Тому , тобто різницю векторів завжди можна замінити сумою. Звідси випливає правило віднімання векторів.
Щоб від вектора відняти вектор , треба до вектора додати вектор , або, що те саме, до вектора додати вектор з протилежним знаком.
В результаті множення вектора на скаляр одержується вектор , напрямок якого збігається з напрямком , якщо , і протилежний напрямку , якщо . Довжина одержаного вектора дорівнює . Очевидно, що .
Ділення вектора на скаляр зводиться легко до множення вектора на скаляр:
Поняття "більше", "менше" для векторів незастосовні. Для лінійних операцій над векторами векторів вірні такі властивості:
10. - комутативний (переставний) закон додавання;
20. - асоціативний (сполучний)закон додавання;
30. - дистрибутивний (розподільчий) закон множення;
40.
і - скаляри (числа).
Вираз
називається лінійною комбінацією векторів. Числа називаються її коефіцієнтами.
Лінійні комбінації векторів мають такі властивості: якщо вектори колінеарні, то довільна їх лінійна комбінація їм колінеарна; якщо вектори компланарні, то довільна їх лінійна комбінація з ними компланарна. Це випливає із того, що вектор колінеарний а сума векторів лежить в тій же площині, що й доданки, і навіть на тій же прямій, якщо вони колінеарні.
Приклад. Знайти вектор, що ділить кут між векторами і пополам.
Р о з в ' я з о к. Відомо, що діагональ ромба ділить кути ромба пополам. Переносячи один з векторів паралельно самому собі так, щоб його початок збігався з початком другого вектора, одержимо кут . Щоб побудувати тепер ромб, поділимо кожний з векторів на свою довжину. В результаті матимемо одиничні вектори і . Вектор, що збігається з діагоналлю ромба, в даному випадку і буде сумою цих векторів, тобто шуканий вектор матиме вигляд .
3. Проекція вектора на вісь
Проекцією вектора на вісь називається довжина відрізка осі , що міститься між проекціями початкової точки і кінцевої точки , взята із знаком "+", якщо напрямок збігається з напрямком осі проекції, та із знаком "-", якщо ці напрямки протилежні.
Легко довести основні положення теорії проекцій:
10.
(читається: проекція на вісь дорівнює …) (рис.2.3).
20.
(рис.2.4).
Рис. 2.3
.
Рис.2.4
Loading...

 
 

Цікаве