WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Гармонічні коливання (незатухатухаючі) - Реферат

Гармонічні коливання (незатухатухаючі) - Реферат


Реферат з математики
Гармонічні коливання (незатухатухаючі)
х''+ x= 0, (31)
де - деяке додатне число.
Безпосередньою підстановкою перевіряємо, що функція
х == A cos( t+ ) (32)
для будь-яких сталих A і є розв'язком рівняння (31). Можна показати, що інших розв'язків рівняння (31) не має. Таким чином, функція (32) задає загальний розв'язок рівняння (31).
Функція (32) для будь-яких заданих А, і описує гармонічний коливальний процес. Число |А| називається амплітудою, а число - початковою фазою, або просто фазою коливання (32). Рівняння (31) називають рівнянням гармонічних коливань. Додатне число називають частотою коливання.
Число коливань за одиницю часу визначають за формулою = .
Як бачимо, загальний розв'язок (32) рівняння (31) містить дві довільні сталі: амплітуду А і початкову фазу . Для їх визначення слід задати дві умови, наприклад,
x(t0)=x0, x'(t0)=v0. (33)
Тоді для визначення сталих А і дістанемо таку системурівнянь:
(34)
Звідки A2cos2( t0+ ) + A2sin2( t0+ )=x02+ ,
A2=x02+ .
Можна вважати, що A>0, тоді A= .
Знаючи амплітуду A, з системи (34) за формулами тригонометрії визначають початкову фазу .
З формули (32) можна дістати інший вигляд загального розв'язку рівняння (31).
Справді, Поклавши, що дістанемо:
До такого диференціального рівняння приводять, наприклад, дві різні, на перший погляд, задачі фізики - коливання пружної пружини і розряд конденсатора через котушку.
Зазначимо, що рівняння гармонічних коливань розглянуто нами за умов, які реально не виконуються. Так, для описання коливання пружини треба враховувати тертя, а для описання розряду конденсатора - внутрішній опір. При цьому в рівнянні коливань з'являється доданок, що залежить від першої похідної (швидкості).
Loading...

 
 

Цікаве