WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціальні рівняння - Курсова робота

Диференціальні рівняння - Курсова робота

первісноїкількості?
Розв'язання. Позначимо через M (t) кількість радіоактивної речовини в момент часу t. Тоді
M (0) =M0 (12)
Це - початкова умова задачі. Розв'язавши рівняння (11) при початковій умові (12) отримаємо
(13)
Прийнявши до уваги, що M(30)=M0/2, з формули (13) знайдемо
За допомогою нескладних обчислень отримаємо, що відповідь 60 років.
3. Поглинання світла
При проходженні світла через воду (або скло) деяка його частина поглинається. Нехай на поверхню води перпендикулярно до неї падає світло з інтенсивністю A0, інтенсивність світла на глибині х позначимо через А (х). Похідна А' (х) - швидкість поглинання світла на глибині х. З оптики відомо, що для таких серед, як вода або скло, швидкість поглинання світла на глибині х пропорційної інтенсивності світла на цій глибині, а саме
(14)
Так як інтенсивність світла А (х) з збільшенням глибини х зменшується, то похідна А'(х) від'ємна. Рівняння (14) є диференційним рівнянням типу (3) відносно функції А (х).
Задача. Десятиметровий шар води поглинає 40% світла ,що падає на її поверхню. На якій глибині денне світло буде по яскравості таким же, як місячне світло на поверхні води, якщо яскравість місячного світла складає яскравості денного світла?
Розв'язання. Початкова умова задачі має вигляд
A(0)=A0 (15)
Записавши розв'язання рівняння (14) при початковій умові (15) по формулі (5), отримаємо A(x)=A0e-kx; звідки, використовуючи додаткову умову A(10) = 0,6A0, знайдемо
Закон поглинання світла матиме вигляд
Для визначення в задачі глибини х отримаємо рівняння
звідки х 247 м.
4. Концентрація розчину.
Задача. Є судина ємністю а л, наповнений водним розчином солі. В судину вливається вода зі швидкістю b л в хвилину, перемішується, і розчин ,що одержується однорідної концентрації виходить з судини з тією ж швидкістю. Скільки солі буде міститися в розчині в момент часу t, якщо в початковий момент (t=0) її було в розчині A0 кг? Обчислити відповідь, якщо а=100 л, A0=10 кг, b=3 л в хвилину, t=1 година.
Розв'язання. Позначимо через A (t) кількість солі в розчині в момент часу t. Концентрація розчину в цей момент часу буде рівна A (t)/a. Зміна кількості солі в розчині в одиницю часу дорівнює різниці між кількістю солі, що надходить в судину і що виходить з неї. Але сіль в судину не надходить, а виходить з нього в одиницю часу bA (t)/a. Тому швидкість А' (t) зміни кількості солі в розчині дорівнює
(16)
Знак мінус вказує на зменшення кількості солі у розчині. Маємо диференціальне рівняння типу (3) з початковою умовою
А(0) = А0 (17)
Записавши розв'язок рівняння (16) при початковій умові (17) за формулою (7), отримаємо A(t)=A0e-bt/a. Враховуючи числові дані задачі, знайдемо A(60) 1,654 кг.
II. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку.
Подібно тому, як в алгебрі виникає поняття ступеню алгебраїчного рівняння, в аналізі виникає поняття порядку диференційного рівняння.
Якщо диференційне рівняння містить лише першу похідну цієї функції, те воно називається диференційним рівнянням першого порядку. З диференційних рівнянь першого порядку для додатків велике значення мають рівняння вигляду
y' (x) +p (x) y (x) =q (x), (19)
Де р(x) і q(x) - деякі безперервні функції; в а саме, вони можуть бути постійними. Це рівняння лінійне відносно цієї функції і її похідної. Такі рівняння називаються лінійними диференційними рівняннями. При q(x) = 0 рівняння (18) має вигляд
y'(x)+p(x)y(x)=0 (20)
Позначимо через v(х) одну з первісних функції р(х) і умножимо обидві частини рівності (20) на відмінний від нуля множник еv(x). Помітивши, що
v'(х) =р (х), отримаємо справедливу рівність (y (x) ev(x)) '=0. Отже,
y(х) еv(x)=C, де C-довільна постійна, звідки
y(х) =Се-v(x). (21)
Отже, якщо у (х) - розв'язання рівняння (19), те воно має вигляд (21). Безпосередній підстановкою в рівняння (19) функції (21) переконуємось, що при будь-якому значенні постійної С вона є розв'язанням рівняння (19). Отже, формула (21) дає безліч всіх розв'язків рівняння (19). При початковій умові (6) з неї можна отримати певний розв'язок.
Неоднорідне лінійне диференційне рівняння (18) може бути зведене до вже розглянутого випадку однорідного рівняння. Наприклад, якщо функції р(х) і q(x) - постійні, а саме p(x) =k, k 0, q(x) =a (k і а - постійні), рівняння
y'(x) +ky (x) =a (22)
Можна переписати в вигляді однорідного рівняння
.
Звідси видно, що множина всіх розв'язків y(x)цього рівняння визначається формулою
y(x)=Ce-kx+a/k,
а розв'язок рівняння (22), яке задовольняє початковій умові (6), - формулою
(23)
Розглянемо деякі задачі на прикладення лінійних рівнянь.
1. Охолодження тіла
Нагріте тіло, поміщене в середу з більш низькою температурою, буде охолоджуватися, при цьому швидкість охолодження з плином часу зменшується. Як відомо, швидкість охолодження поверхні тіла в будь-якій її точці пропорційна різниці температур поверхні тіла і навколишньої середи.
Задача. Металева деталь, нагріта до 500°С, охолоджується в, повітрі при температурі 20 °С. Через 10 хвилин після початку охолодження температура на поверхні деталі понизилася до 100°С. Який буде температура на поверхні деталі через 20 хвилин?
Розв'язання. Позначимо через U (t) температуру на поверхні деталі в момент часу t після початку охолодження. За умовою
U (0)=500 (24)
Це - початкова умова задачі. Швидкість охолодження поверхні деталі в момент часу t дорівнює U'(t). Вважаючи температуру повітря постійною, отримаємо:
U (t) = -k (U (t)-20), k>0.
Так, як температура на поверхні деталі зменшується, то похідна від'ємна. Звідси для U(t) отримаємо лінійне диференціальне рівняння, аналогічне рівнянню (22):
U' (t)+kU (t)= 20k
Розв'язуючи його за формулою (23) з початковою умовою (24), отримаємо
U (t)= 480e-kt+20
Використовуючи додаткову умову U(10)=100, знайдемо і, відповідно, U(t)=480 . Якщо t=20 отримаємо U(20)=33+1/3.
2. Найпростіші електричні ланцюги
Якщо в замкнутий електричний ланцюг послідовно ввімкнуті джерело струму з електрорушійною силою (ЕРС) Е, В, активний опір R Ом, котушка з індуктивністю L Гн і конденсатор ємністю С, Ф, то, як відомо з електротехніки, між ЕРС і напругами на активному опорі, котушці індуктивності і конденсаторі в будь-який момент часу t існує така залежність:
E=UR+UC+UL. (25)
Тут UR=RI(t) - напруга на активному опорі, UC=q(t)/C - напруга на конденсаторі і UL=LI'(t) - напруга на котушці індуктивності; I(t) - сила струму в ланцюгу в момент часу t, яка вимірюється в амперах, q(t) - заряд конденсатора в момент часу t, яких вимірюється в кулонах.
Використовуючи співвідношення (25) і знаючи, що q'(t)= I(t), можна знайти силу струму в ланцюгу в залежності від заданої ЕРС джерела струму.
Задача.
Loading...

 
 

Цікаве