WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Інтегрування раціональних дробів та виразів, що містять ірраціональності - Реферат

Інтегрування раціональних дробів та виразів, що містять ірраціональності - Реферат


Реферат на тему:
1. Інтегрування раціональних дробів та виразів, що містять ірраціональності.
Означення 1. Дріб називається раціональним, якщо його чисельник та знаменник є многочленами, тобто дріб має вигляд
де аі та bk - коефіцієнти многочленів, і = 0, 1, ..., n;
k = 0, 1, 2, ..., m.
Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня чисельника n менше відповідного степеня m знаменника. Дріб називається неправильним, якщo .
Якщо дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержати заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу, тобто
Означення 2. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називають правильні дроби вигляду:
I. II.
III.
IV.
Умова означає, що квадратний тричлен х2 + px + q не має дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний тричлен x2 + rx + s.
Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів 1-го та ІІ-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування:
І.
ІІ.
При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ-го типу треба спочатку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.
ІІІ.
Повертаючись до змінної х, та враховуючи, що або одержимо:
Інтеграл від найпростішого дробу типу IV шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла під найпростішого дробу типу III.
У повному курсі вищої алгебри доведена слідуюча теорема.
Теорема 1. Будь-який правильний раціональний дріб розкладається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.
Отже, інтегрування раціонального дробу зводиться до інтегрування многочлена Mn-m (х) (при ) та суми найпростіших дробів. Відмітимо, що вигляд найпростіших дробів визначається коренями знаменника Qm(x). Можливі слідуючі випадки:
1. Корені знаменника дійсні та різні, тобто
В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го типу:
(1)
Невизначені коефіцієнти А1, А2, ... Аm знаходять з тотожності (1).
2. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, тобто
Тодідріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та ІІ-го типу
(2)
Коефіцієнти А, В1, В2, ..., Вk знаходять з тотожності (2).
3. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники, тобто
В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го, ІІ-го та ІІІ-го типів
(3)
коефіцієнти А, В1, В2, ..., Bk, D та Е знаходять з тотожності (3).
Приклад 1. Знайти
Розв'язування. Підінтегральна функція-це правильний раціональний дріб, знаменник якого містить квадратний двочлен, який не розкладається на множники та один дійсний корень х = 1, тому цей дріб розкладається на суму найпростіших дробів І та III типу:
(4)
Невідомі коефіцієнти А, В та С будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності (4) треба привести до спільного знаменника, одержимо
Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні, тобто
х = (Ах + В)(х - 1) + С(х2 + 1) (А + С)х2 + (В - А) + С - В (5)
Рівність (5) можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однаковому степеню х в обох частинах рівності однакові, тобто
Отже, розклад (4) тепер приймає вигляд
Інтегруючи цю рівність, одержимо
2. Інтегрування виразів, що містять ірраціональності
При інтегруванні виразів, що містять дробові степені змінної інтегрування (тобто ірраціональності), методом відстановки зводять підінтегральну функцію до раціонального дробу. Розглянемо декілька випадків.
1. Підінтегральна функція є раціональним дробом відносно , де дробове число. У цьому випадку вводять нову змінну t = х1/q , де q - спільний знаменник дробових показників степеня змінної х.
Приклад 2. Знайти
Розв'язування. Маємо:
Спільний знаменник дробових показників степенів 1/2, 4/3, 5/4 змінної х дорівнює 12. Тому зробимо підстановку t = х1/12, х = t12, dx = 12t11dt i ми одержуємо:
2. Підінтегрований вираз містить дробові степені лінійного двочлена (ах+b). У цьому випадку доцільно зробити підстановку t = (ах + b)1/q, де q -спільний знаменник дробових показників степенів двочлена.
Приклад 3. Знайти
Розв'язування. Нехай t = (х + 1)1/2, х + l = t2, x = t2- 1, dx = 2tdt
Тому
Loading...

 
 

Цікаве