WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки - Реферат

Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки - Реферат

інтегрування.
Розглянемо деякі з таких рівнянь.
І. Нехай права частина в рівнянні (5) має вигляд
(6)
Де - дійсне число, - многочлен степеня п.
Можливі такі випадки:
А). число не є коренем характерного рівняння
(7)
Тоді диференціальнерівняння (5) має частинний розв'язок виду
(8)
де А0, А1, ..., Ап - невизначені коефіцієнти.
Справді, підставляючи функцію (8) в рівняння (6), після скорочення на дістанемо
(5)
де - многочлен степеня п-2, - многочлен степеня п. Таким чином, зліва і справа в тотожності (5) стоять многочлени степеня п. Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях п, дістанемо систему п+1 невідомих коефіцієнтів Аі многочлена Qn(x).
Не зупиняючись далі на доведеннях, вкажемо форму в якій потрібно шукати частинний розв'язок рівняння (5), залежно від виду правої частини f(х) цього рівняння:
Б). якщо число збігається з одним коренем характеристичного рівняння (7), тобто є простим коренем цього рівняння, то частинний розв'язок рівняння (5) треба шукати у вигляді
(6)
В). якщо число є двократним коренем рівняння (93), то частинний розв'язок рівняння (5) шукають у вигляді
(7)
Об'єднаємо випадки а).-в).: якщо права частина рівняння (5) має вигляд (6), то частинний розв'язок цього рівняння треба шукати у вигляді
де - многочлен з невизначеними коефіцієнтами того самого степеня, що й многочлен - число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють . Якщо не є коренем характеристичного рівняння, то приймаємо r=0.
ІІ. Нехай права частина в рівнянні (5) має вигляд
, (8)
де Pn(x) - многочлен степеня п, Rm(x) - многочлен степеня m; - дійсні числа. (Функція (6) є окремим випадком функції (98) і утворюється з неї при ).
Частинний розв'язок рівняння (5) треба шукати у вигляді
, (9)
де Rs(x) ma Ls(x) - многочлени степеня s з невизначеними коефіцієнтами; s - найвищій степінь многочленів Rs(x) ma Ls(x), тобто s=max(n;m); r - число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють
зокрема, якщо права частина рівняння (5) має вигляд
(10)
де А, В - невідомі дійсні числа, то частинний розв'язок цього рівняння треба шукати у вигляді
(11)
де а , b - невідомі коефіцієнти; r -число коренів характеристичного рівняння (7), які дорівнюють .
Приклад.
Розв'язати рівняння
Характеристичне рівняння має корені тому загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд . Оскільки правою частиною даного рівняння є функція виду , причому , то за формулою (6) частинний розв'язок шукаємо у вигляді тобто , де А і В - невідомі коефіцієнти. Знайшовши похідні і підставивши їх у рівняння дістанемо
-2В+А+Вх=2х+3.
Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістанемо систему рівнянь
звідки В=2, А=7. Отже, частинний розв'язок даного рівняння має вигляд , тому
шуканий загальний розв'язок.
Лінійні диференціальні рівняння п-го порядку.
Застосовуємо методи знаходження розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку до рівнянь вищих порядків. Не зупиняючись детально на теорії, сформулюємо необхідні твердження і розглянемо приклади.
Нехай маємо лінійне диференціальне рівняння п-го порядку
(12)
де а1, а2,...,ап - сталі дійсні числа.
Характеристичним для рівняння (12) називається алгебраїчне рівняння п-го степеня виду
(13)
де k - невідоме дійсне чи комплексне число.
Як відомо рівняння (13) має п коренів. Позначимо ці корені через
Теорема. Кожному простому кореню k рівняння (13) відповідає частинний розв'язок рівняння (12), а кожному кореню k кратності m>1 відповідає т частинних розв'язків виду
Кожній парі простих комплексно-спряжених коренів рівняння (13) відповідає два частинних розв'язки рівняння (12), а кожній парі комплексно-спряжених коренів кратності р>1 відповідає 2р частинних розв'язків виду
Загальна сума кратностей всіх коренів рівняння (13) дорівнює п, тому кількість всіх частинних розв'язків рівняння (12), складених згідно з цією теоремою, дорівнює п , тобто збігається з порядком рівняння (12). Позначимо ці частинні розв'язки через у1, у2, ..., уп. . Можна показати, що знайденні частинні розв'язки є лінійно незалежними, і загальний розв'язок рівняння (12) знаходиться за формулою
(14)
Нехай тепер задано неоднорідне рівняння п- го порядку
(15)
Де - сталі дійсні числа, - неперервна на деякому проміжку функція.
Як і для рівнянь другого порядку, загальним розв'язком рівняння (15) є функція:
де - загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння (12), а у*(х) - частинний розв'язок рівняння (15).
Побудову загального розв'язку рівняння (12) з'ясовано. Проаналізуємо знаходження частинного розв'язку у*(х). Якщо права частина f(x) рівняння (15) є функцією спеціального виду (8), то частинний розв'язок цього рівняння треба шукати за формулою (9). Якщо права частина f(x) не є функцією виду (8), то для знаходження у*(х) застосовують метод варіації довільних сталих. Стосовно рівняння (15) суть цього методу така.
Нехай функція (14) є загальним розв'язком відповідного однорідного рівняння (12). Знаходимо частинний розв'язок рівняння (15) за тією ж формулою (14), вважаючи, що величини С1, С2, ..., Сп - функції від х, тобто покладемо
де С1(х), С2(х), ..., Сп(х) - невідомі функції.
Складемо систему рівнянь
Розв'язуючи цю систему, знаходимо похідні і=1,2,...,п, а потім інтегруванням і самі функції Сі(х). Якщо взяти всі сталі інтегрування рівними нулю і підставити функції Сі(х) в рівність (16), то матимемо частинний розв'язок рівняння (15); якщо у рівність (16) підставити функції де - довільні сталі, то зразу дістанемо загальний розв'язок.
Приклад.
Розв'язати рівняння
Характеристичне рівняння має корені k1=k2=ks=0, k4=2i, ks=-2i.згідно з теоремою маємо частинні розв'язки: у1=1, у2=х, у3=х2, у4=cos2x . y5=sin2x. Загальний розв'язок даного рівняння знаходимо з а формулою (14):
V. Контрольні питання:
1. Як знаходять характеристичне рівняння диференціального рівняння.
2. Які три випадки можливі, якщо позначити корені характеристичного рівняння через k1 і k2.
3. Сформулювати теорему для диференціальних рівнянь n-порядку.
4. Сформулювати теорему Коші про існування та єдність розв'язку для рівняння y"=f(x, y, y,).
VІ. Література:
1. 1.Барковський В.В. Барковська Н.В. "Математика для економістів". 1. Вища математика. - К.: Національна академія управління, 1997 р. - 397 ст. , ст. 10-12, 19-20.
2. 2.Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. - К.: А.С.К., 2001.- 648 с.
Loading...

 
 

Цікаве