WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Геометрична прогресія та гармонічний ряд - Реферат

Геометрична прогресія та гармонічний ряд - Реферат


Реферат з математики
Геометрична прогресія та гармонічний ряд
1. Одним з найпростіших прикладів рядів є геометрична прогресія.
Ряд вигляду
(1)
називається геометричною прогресією, число q при цьому є знаменником прогресії.
Покажемо, що геометрична прогресія (1) збігається тоді і тільки тоді, коли її знаменник за модулем менше від одиниці:
. (2)
нехай Sn - п-а часткова сума ряду (1). Тоді
Звідси
(3)
якщо , то із (3) знаходимо
й, отже,
(4)
(якщо , то ; чому це так?)
Якщо , то із (3) маємо
при . Якщо q=1, то
, при .
Якщо q= - 1, то
Отже, послідовність Sn розбіжна.
Таким чином, в усіхтрьох останніх випадках геометрична прогресія розбіжна.
2. Важливим у теорії рядів є гармонічний ряд, так називають ряд
Покажемо, що гармонічний ряд розбіжний.
Для будь-якого натурального числа існує натуральне число таке, що і при . Нехай Sn - n-а часткова сума ряду. Тоді
Якщо , то іноді кажуть, що розбіжний ряд має нескінчену суму і записують Таким чином, ряд має нескінчену суму, що дорівнює , якщо a>0, або , якщо a<0.
Оскільки при , з доведеної нерівності випливає при , тобто гармонічний ряд розбіжний.
Loading...

 
 

Цікаве