WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Вивчення теорії ймовірностей та математичної статистики як складова частина математичної освіти школярів - Дипломна робота

Вивчення теорії ймовірностей та математичної статистики як складова частина математичної освіти школярів - Дипломна робота

логічних можливостей. Для розв'язання пункту б) можна викликати учня.
Розв'язання. а) На перше місце можна поставити будь-яку з трьох цифр, а на друге - з двох цифр, що залишаться. Будуємо дерево логічних можливостей. З нього видно, що таких чисел буде 6 (мал. 3).
б) Розв'язується аналогічно (мал. 4).
Вправа 3. У класі з 28 учнів треба обрати старосту та заступника старости. Скількома способами це можна зробити?
Учні розв'язують усно за допомогою питань учителя:
1) Скількома способами можна обрати старосту?
2) Скільки учнів залишились для вибору заступника після вибору старости?
3) Скількома способами можна обрати заступника старости?
4) Скількома способами можна обрати і старосту, і його заступника?
Розв'язання. Старостою можна обрати будь-якого учня класу, тобто є 28 способів. Заступника старости можна обрати 27 способами. Старосту та заступника разом можна обрати 28 х 27 = 756 способами.
Ці задачі ілюструють ще одне правило комбінаторики. Учитель показує на кодоплівці формулювання цього правила, читає його, учні за-писують у зошитах.
Правило множення. Якщо елемент а можна вибрати m способами та після кожного такого вибору елемент b можна вибрати n способами, то вибір пари а та b y вказаному порядку можна здійснити m х n способами.
Наступні задачі розв'язують учні біля дошки, розмірковуючи аналогічно попереднім.
Вправа 4. Припустимо, що потрібно сформувати команду космічного корабля з трьох осіб: командира, інженера та лікаря. На місце командира є 4 кандидати, на місце інженера - 3, а на місце лікаря - 5. Скількома способами може бути сформовано команда корабля?
Розв'язання. Вибір командира може бути здійснений 4 способами, інженера - трьома, а лікаря - п'ятьма. Отже, вибір командира й інже-нера можна здійснити 3x4 способами, лікаря для кожної такої команди можна вибрати п'ятьма способами. Отже, команду буде сформовано З х 4 х 5 = 60 способами.
Сформулюємо тепер це правило комбінаторики в загальному вигляді.
Вчитель знов показує правило на кодоплівці, учні записують його в зошитах.
Правило множення. Нехай треба виконати одну за одною k дій. Якщо першу дію можна виконати n1 способами, після чого другу дію - n2 способами, після чого третю дію - n3 способами і так далі до k-ї дії, яку можна виконати nk способами, то всі k дій разом можуть виконуватися n1 x n2 x n3 x...х nk способами.
Вправа 5. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1,2 таких, що:
а) кожна з цифр повторюється не більш ніж один раз;
б) цифри можуть повторюватися. Розв'язання, а) першою цифрою може бути
одна з двох цифр 1 або 2; коли перша цифра вибрана, то друга може бути вибрана також двома способами (0 або 1, 0 або 2). За правилом множення загальна кількість способів дорівнює 2x2 = 4;
б) першою цифрою може бути одна з двох цифр 1 або 2 (дві можливості); для кожної наступної цифри маємо 3 можливості (0, 1, 2). Отже, 2x3 = 6.
Можна побудувати дерево логічних можливостей (мал. 5).
Вправа 6. Скільки є п'ятицифрових чисел, які діляться на 5?
Розв'язання. На перше місце можна поставити будь-яку з цифр 1, 2, ..., 9, тобто першу цифру можна вибрати 9 способами. Оскільки не говориться, що цифри не повинні повторюватися, то другу цифру можна обрати 10 способами (ті самі цифри та ще 0), третю та четверту цифри так само, а ось остання цифра може бути тільки 0 або 5, тобто останню цифру можна вибрати двома способами. За правилом множення маємо 9 х 10 х 10 х 10 х 2 = 18000.
II. Перестановки
Вправа 7. Скільки одноцифрових чисел можна скласти з цифри 3?
Розв'язання. Одну - 3.
Вправа 8. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 5, 6, щоб цифри у числі не повторювалися?
Розв'язання. На перше місце можна вибрати одну з двох цифр, на друге поставимо цифру, що залишиться. За правилом множення 2x1= 2.
Вправа 9. Скільки трицифрових чисел можна скласти з 6, 7, 9, щоб цифри у числі не повторювалися?
Розв'язання. На перше місце можна поставити будь-яку цифру. Це можна зробити трьома способами. На друге місце можна поставити будь-яку із тих цифр, що залишилися. Це можна зробити двома способами. Як тільки вибрані перші дві цифри, то на третє місце можна поставити одну цифру, що залишиться. За правилом множення маємо 3x2x1 = 6.
Одночасно з розв'язанням цих задач учитель малює на дошці таблицю й заповнює її за допомогою учнів (див. табл.).
Таблиця
Множина Кількість елементів Кількість чисел Як визначили чисел кількість
{3} 1 1 1
{5; 6} 2 2 1 x 2 = 2
{6; 7; 9} 3 6 1x2x3 = 6
Вправа 10. Скільки різних чотирицифрових чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4 так, щоб цифри не повторювалися?
Розв'язання. 1 х 2 х 3 х 4 = 24.
Вправа 11. Розв'яжіть попередню задачу за умови, що буде n цифр і треба скласти n-цифрових чисел.
Розв'язання. Розмірковуючи аналогічно, знаходимо кількість способів, якими можна скласти n-цифрові числа n х (n - 1) х (n - 2) х ... х 4 х 3 х 2 х х1.
Означення. В математиці прийнято позначати 1x2 = 2!; 1x2x3 = 3!; ...;
1 х 2 х 3 х ... n = n!. Читається: "один факторіал, два факторіал, ..., n-факторіал".
n! - 1 х 2 х 3 х ... х (n - 2) х (n - 1) хn.
Розв'язуючи попередні задачі, можна було просто переставляти цифри місцями та отримувати різні числа, які б відрізнялися лише по-рядком наступності цифр у числі. Конструюючи числа, ми отримували скінченні числові множини.
Розрізняють впорядковані та невпорядковані множини. Скінченні множини, для яких порядок елементів суттєвий, називають впорядкова-ними. Вказати порядок розташування елементів у скінченній множині з п елементів означає поставити у відповідність кожному елементу даної множини певне натуральне число від 1 до п. Наприклад, дано А = {1; 2; 7 }, В = {2; 7; 1} А = = В за означенням, якщо вони невпорядковані множини. Якщо ж їх впорядкувати, то А В.
Означення. Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів і позначається Рn
З розглянутих прикладів можна зробити висновок, що Рn = n!.
А зараз уявіть, що ми з вами потрапили у XIX ст. (інсценізована задача).
Пасажир ходить, очікуючи візника. З'являється візник, і пасажир запитує:
- Може, час запрягати?
- Що Ви? - відповів візник. - Ще півгодини до від'їзду. За цей час я встигну 20 разів і запрягти, й розпрягти, й знов запрягти. Нам не вперше ...
- А скільки в карету впрягається коней?
- П'ятеро.
- Скільки часу потрібно, щоб запрягти коней?
- Та хвилини дві, не більш.
- Еге ж? - засумнівався пасажир. - П'ять коней запрягти за дві хвилини... Щось дуже швидко!
- Дуже просто, - відповів візник. - Виведуть коней у збруї, постромках з вальками, у віжках. Залишиться тільки накинути кільця вальків на крюки, приструнити двох середніх коней до дишла, взяти віжки в руки, сісти на козли й гаразд...
- Ну гаразд! - сказав пасажир. - Припустимо, що таким чином можна запрягти та розпрягти коней хоч 20 разів за півгодини. Але якщо їх треба перепрягати одну замість іншої, та ще всіх, то цього вже не зробити не тільки за півгодини, а й за дві.
-
Loading...

 
 

Цікаве