WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Вивчення теорії ймовірностей та математичної статистики як складова частина математичної освіти школярів - Дипломна робота

Вивчення теорії ймовірностей та математичної статистики як складова частина математичної освіти школярів - Дипломна робота

поняттям стохастики є поняття стохастичного експерименту. Це дослід, експеримент, випробування, в широкому розумінні цих слів, результат якого заздалегідь передбачити не можна - він випадковий. Та не всякі експерименти з випадком називають стохастичними, й дати точне означення цього поняття не просто. Одна з основних властивостей стохастичного експерименту полягає в тому, що його можна повторювати багато разів без зміни умов проведення і що при багаторазовому повторенні експерименту наслідки попередніх експери-ментів не впливають на наслідки наступних експериментів. Наслідки стохастичних експериментів називають випадковими подіями або просто подіями. Найпростішим прикладом стохастичного експерименту є підкидання монети, в якому може відбутися одна з двох подій: випадає герб, випадає цифра.
Розглянемо детальніше приклад стохастичного експерименту, який розглядав Бернуллі. Нехай в урні сховано 5 тисяч камінців: 3 тисячі білих і 2 тисячі чорних. Але вважатимемо, що нам не відома кількість білих і чорних камінців. Будемо виймати з урни по черзі камінець за камінцем, відмічати їх колір і повертати назад до урни. Підрахуємо, скільки буде вийнято білих камінців і скільки чорних. Виникає питання, чи можемо ми, повторюючи цей дослід багато разів, дізнатися, скільки в урні камінців того чи іншого кольору?
На перший погляд здається, що відповісти на це запитання неможливо. Та насправді якщо випробувань із витягуванням камінців провести досить багато, то виявиться, що частка білих камінців буде приблизно дорівнювати , а чорних дорівнювати від усієї кількості камінців. Отже, якщо буде відома загальна кількість камінців, то ці частки допоможуть зробити висновок про кількість камінців кожного кольору.
Уважніше проаналізуємо результати нашого експерименту. Цей експеримент не простий. Він складається з простіших експериментів - од-норазового виймання камінця. Такі прості експерименти, з яких складаються складні, часто називають стохастичними випробовуваннями. У нашому випадку в результаті окремого випробовування відбувається одна з двох подій: вийнятий камінець - білий, вийнятий камінець - чорний. Для скорочення подальших записів першу з цих подій позначатимемо літерою А, другу - В.
При проведенні великої кількості випробувань бачимо, що подія А відбувалася частіше, ніж подія В. Отже, часткою білих камінців (від усіх випробувань) можна оцінити ступінь ймовірності події А. А часткою чорних камінців - ймовірність події В. Якби ми заздалегідь знали, скільки білих камінців сховано в урні, то, природно, за ймовірність події А потрібно було б взяти число , а за ймовірність події В - .
Оцінка ймовірності події на основі експериментальних даних є однією із задач математичної статистики.
Важливо зазначити, що зі збільшенням кількості випробувань частка білих камінців (від усіх випробувань) все менше і менше відрізнятиметься від числа , а чорних - від числа . У цьому проявляється дія давно відомого людям закону - закону великих чисел або, інакше, закону стійкості частот.
Можна навести й інші приклади, в яких би ми виявили дію закону великих чисел. Так, якщо багато разів підкидати новеньку монету, то десь у половині випадків випадає герб, а в інших випадках - цифра. Тому ймовірністю випадання герба вважають число .
Ще одним прикладом прояву закону великих чисел може бути частка хлопчиків серед новонароджених дітей. Люди давно помітили, що хлопчиків народжується більше, ніж дівчаток. їх частка серед новонароджених залежить від країни, регіону, року, та вважається, що в середньому ця частка складає приблизно 51,4 %.
§5. Уроки з теми "Елементи комбінаторики"
Урок 1. Teмa: Комбінаторне правило множення. Перестановки.
Мета: Ознайомити учнів з правилом множення, ввести поняття факторіала та перестановки, показати розв'язування простіших задач на застосування цих понять; формувати математичну культуру; розвивати вміння спілкування в умовах навчальної діяльності; виховувати вміння працювати й колективі, почуття відповідальності за спільну справу, інтерес до розв'язування математичних задач.
Обладнання: кодопроектор.
Тип: комбінований.
ХІД УРОКУ
I. Організаційний момент
II. Перевірка домашнього завдання
III. Фронтальне опитування
1) Для вирішення яких проблем є корисним знання комбінаторики? Наведіть приклад відповідної задачі.
2) Які видатні математики створювали та розвивали комбінаторику?
3) Наведіть приклади використання правила суми.
IV. Дидактична гра
Формуються імпровізовані команди (учні на передніх партах повертаються до тих, хто сидить за ними, команда складається з 4-6 чо-ловік). Учитель диктує умови гри та показує на кодоплівці їх схематичний запис.
- "Ви - експертна група банку, який погодився фінансувати проект благодійного фонду. Благодійний фонд подав 3 проекти: "Обдарована дитина-2003", "Допомога в реконструкції храму", "Реконструкція пам'ятки культури". Ці проекти були захищені на засіданні правління банку. Усього членів банку - 16. За перший проект проголосувало 8, за другий - 9, за третій - 9, за перший та другий - 5, за другий та третій - 3, за перший та третій - 4. Ви як експерти повинні з'ясувати, скільки членів проголосувало тільки за один проект і за який. Результати будуть представлені президентові банку, який і вирішить, який проект фінансувати.
Порада експертам: щоб робота була виконана швидко, розподіліть обов'язки. Тобто є експерти, які розробляють математичну модель задачі, а є експерти, які розробляють схематичну модель задачі".
Розв'язання.Нехай U- множина всіх членів правління банку, А - множина членів правління банку, які проголосували за перший проект, В - множина членів правління банку, які проголосували за другий проект, С - множина членів правління банку, які проголосували за третій проект.
n(А) = 8, n(В) = 9, n(С) = 9, n(U)= 16,
n(А В) = 5, n(А C) = 4, n(В C) = 3.
n(U) - n(В) - n(С) + n(В C) = 16 - 9 -9 + 3=1 чоловік проголосував тільки за перший проект.
n(U) - n(А) - n(С) + n(А C) = 16 - 8 - 9 + 4 = 3 чоловіки проголосували тільки за другий проект.
n(U) - n(А) - n(В) + n(А В) = 16 - 8 - 9 + 5 = 4 чоловіки проголосували тільки за третій проект (мал. 1).
Розв'язання захищають представники команди, що першою розв'яже задачу, представники інших команд виступають у ролі опонентів. Члени команди, що першою правильно розв'яже задачу, отримують 10 балів, другою - 9 балів, третьою - 8 балів.
V. Зміст нового матеріалу
1. Правило множення.
Вправа 1. З міста А до Б ведуть п'ять доріг, з міста В до С - три. Скільки доріг, які проходять через В, ведуть з А до С?
Учитель робить схематичний малюнок (мал. 2) та коментує розв'язання.
Розв'язання. Як видно на малюнка, з А до В можна обрати будь-яку з 5 доріг, тобто є 5 можливих способів, а з В до С можна вибрати дорогу трьома способами, тобто всього маємо 5 х 3 = 15 можливих способів, щоб потрапити з А до С, проходячи через В.
Вправа 2. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3 так, щоб:
а) цифри в числі не повторювалися;
б) цифри в числі могли повторюватися. Учитель розв'язує на дошці та коментує пункт
а) за допомогою дерева
Loading...

 
 

Цікаве