WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Вивчення теорії ймовірностей та математичної статистики як складова частина математичної освіти школярів - Дипломна робота

Вивчення теорії ймовірностей та математичної статистики як складова частина математичної освіти школярів - Дипломна робота

викреслюємо відповідні горизонталь та вертикаль. На дошці і залишиться 24 чорних квадрати. За правилом добутку маємо 32 х 24 = 768 (способів вибору).
Вправа 5. Для учнів було куплено 2n квитків у театр на місця, що розташовані в одному ряду (в ньому 2n місць). Скільки є способів розподі-лу цих квитків між учнями (n хлопчиків та п дівчат), щоб жодні два хлопці або дівчинки не сиділи поруч?
Розв'язання. Розмістимо хлопчиків на парних місцях, що можна зробити Рn = n! способами. Дівчат можна розмістити на непарних місцях довільно, тобто ще Рn = n! способами. Всього за правилом добутку отримаємо (n!)2 способів. Стількома ж способами можна розмістити хлоп-чиків на непарних місцях, дівчат - на парних. За правилом суми остаточно маємо
(n!)2 + (n!)2 = 2(n!)2 (способів розподілу місць).
IV. Самостійна робота
Кожному учню дається картка з завданнями.
I варіант
1. У книжковому магазині є 6 примірників роману Олеся Гончара "Собор", 3 примірники його ж роману "Тронка" та 4 примірники роману "Берег любові". Крім того, є 5 томів, що містять романи "Собор" та "Тронка", та 7 томів, що містять романи "Тронка" та "Берег любові". Скількома способами можна зробити покупку, що складається з одного примірника кожного з цих романів?
Розв'язання. Можна тупити або примірник кожного роману або том, що містить два романи та примірник третього роману. За правилами добутку та суми маємо 6хЗх4 + 5х4 + 7х 6 = 134 (способів покупки).
2. На пікнік поїхало 92 особи. Бутерброди з ковбасою взяли 47 чоловік, із сиром - 38, з баликом - 42, з сиром та ковбасою - 28, з ков-басою та з баликом - 31, із сиром та з баликом - 26. Усі три види бутербродів узяли 25 чоловік, а кілька замість бутербродів узяли з собою пиріжки. Скільки чоловік узяли пиріжки, тільки бутерброди з ковбасою, тільки з сиром, тільки з баликом?
Розв'язання. U - множина всіх, хто поїхав, А - множина тих, хто взяв бутерброди з ковбасою, В - множина тих, хто взяв бутерброди з сиром, С - множина тих, хто взяв бутерброди з баликом.
n(U) = 92, n(А) = 47, n(В) = 38, n(C) = 42, n(A B)= 28, n(A C) = 31,
n( B C) = 31, n(A B C) = 25.
n(А B C) = n(А) + n(В) + n(С) - n(А В) -n (А C)- n(B C) + n(А b C) = 47 + 38 + + 42-28-31 -26 + 25 = 67.
n(U) - n(А B C) = 92 - 67 = 25 чоловік взяли пиріжки.
n(А B C) - n(А) - n(В) + n(А В) = 67 - 47 - 38 + 28 = 10 чоловік узяли бутерброди з баликом.
n(А B C) - n(B) - n(C) + n(B C) = 67 - 38 - 42 +26 = 13 - бутерброди з ковбасою.
n(А B C) - n(А) - n(C) + n(А C) = 67 - 47 - 42+ 31 = 9 - бутерброди з сиром (мал. 7).
Мал. 7
3. Скільки десятицифрових чисел у десятковій системі числення можна скласти так, щоб цифри 2 та 6 стояли поруч, а цифри в числі не повторювалися?
Розв'язання. Об'єднаємо цифри 2 та 6 в одну, тоді способів розміщення буде Р9 = 9!. Цифри 2 та 6 можна поміняти місцями Р2 способами. Отже, за правилом добутку маємо Р9 х Р2 = 9! х 2! = 2 х 9! чисел. Але ж треба відняти числа, які починаються з 0, їх Р8, тоді остаточно маємо Р9х Р2 - Р8 = 9! х2 - 8!х 2! = 8! 2! (9 - 1) = 8! х 16 (чисел).
П варіант
1. В Англії є звичай давати дітям кілька імен. Скількома способами можна назвати малюка, якщо загальна кількість імен дорівнює 300, а дають йому не більше трьох імен?
Розв'язання. Малюку можна дати одне або два, або три імені, причому всі вони різні. Всього за правилами суми та добутку маємо 300 + 300 х 299 + +300 х 299 х 298 = 26 820 600 (способів).
2. З 80 туристів, які поїхали за кордон, володіють німецькою 30 чоловік, англійською - 20, французькою - 32, англійською та німецькою - 5, англійською та французькою - 6, німецькою та французькою - 3, трьома мовами володіють 2 чоловіки. Скільки туристів не володіють жод-ною мовою; володіють лише англійською, лише німецькою, лише французькою?
Розв'язання. U - множина всіх туристів, А - множина тих, хто володіє англійською, В - множина тих, хто володіє німецькою, С- мно-жина тих, хто володіє французькою.
n(U) = 80, n(А) = 20, n(В) = 30, n(C) = 32, n(А B) = 5, n(А C) = 6,
n(В C) = 3, n(А B C) = 2.
n(А B С) = n(А) + n(В) + n(C) - n(А В) - n(А C) - n(B C) + +n(А B C) = 20 + 30+32-5-6-3+2 = 70.
n( U) - n(А В С) = 80 -70 = 10 туристів не володіють не однією мовою.
n(А В С) - n(А) - n(В) + n(А В) = 70 - 20 - 30 + 5 = 25 туристів володіють лише французькою мовою.
n(А В С) - n(А) - n(C)+ n(А C) = 70 - 20 - 32 + 6 = 24 туристів володіють лише німецькою мовою.
n(А В С) - n(C) - n(B)+ n(C B) = 70-30-32 + 3 = 11 туристів
володіють лише англійською мовою (мал. 8).
3. Скількома способами можна вишикувати в одну шеренгу гравців двох футбольнихкоманд з 11 чоловік так, щоб при цьому два футболісти однієї команди не стояли поруч?
Розв'язання. Гравців однієї команди можна розмістити умовно під парними номерами Р11 = 11! способами. Гравців іншої команди можна тоді розмістити під непарними номерами теж 11! способами. Всього за правилом добутку маємо (11!)2 способів. Стількома ж способами можна розмістити гравців першої команди під непарними номерами, а іншої - під парними. За правилом суми маємо (11!)2 + (11!)2 = 2 (11!)2 (способів розташування).
V. Підведення підсумків
VI. Домашнє завдання
Домашнє завдання дається за підручником [15]. Запитання для самоконтролю оформлюють у вигляді плаката та вивішують на дошці.
1. Скільки можна зробити з п елементів перестановок, у яких два елементи а і b не стоять поруч? [15, № 324].
Розв'язання. Усіх перестановок можна зробити Рn = n!. З них таких, що а і b стоять поруч, буде Р2 х Рn -1 = 2(n - 1)!. Тому шукане число дорівнює Рn - Р2 х Рn-1 = n! - 1(n - 1)! = (n -2)(n- 1)!.
2. Скільки трицифрових чисел можна скласти з цифр І, 2, 3, 4, 5, якщо кожну цифру можна використовувати не більше, ніж один раз? Більше одного разу? [15, № 309].
Розв'язання. За правилом добутку маємо 5 х 4 х 3 = 60 чисел. Якщо цифри можуть повторюватися, то 5 х 5 х 5 = 125 чисел.
3. На одній з бічних сторін трикутника взято т точок, на другій - n точок. Кожну з вершин при основі трикутника сполучено прямими з точками, які взято на протилежній стороні. Скільки точок перетину цих прямих утворюється всередині трикутника? [15, № 316].
Розв'язання. За правилом добутку маємо m х n точок.
4. Десять груп навчаються в десяти розміщених поряд аудиторіях. Скільки існує варіантів розміщення груп по аудиторіях, за яких групи № 1 і № 2 перебуватимуть у сусідніх аудиторіях?
Розв'язання. Умовно об'єднаємо групи N° 1 і № 2 в одну, тоді способів розміщення буде P9. Групи № 1 і № 2 можна поміняти місцями Р2 способами. Отже, за правилом добутку, маємо Р9 х Р2 = 9! х 2! = 2 х 9! (варіантів розміщення).
Запитання для самоконтролю:
1. Яким словом можна замінити слово "множина"?
2. Що таке елемент множини?
3. Як позначаються множини та їх елементи?
4. Як позначається порожня множина?
5. Наведіть приклади скінченних та нескінченних множин.
6. Які ви знаєте способи задання множин?
7. Наведіть приклад числової множини та її підмножини.
8. Як позначається кількість елементів?
9. Продовжіть речення:
а) об'єднанням двох
Loading...

 
 

Цікаве