WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Інтеграл Стилтьєса - Реферат

Інтеграл Стилтьєса - Реферат


Реферат з вищої математики
Інтеграл Стилтьєса.
А. Інтеграл Рімана-Стилтьєса. Інтеграл Рімана-Стилтьєса від функції f(x) з інтегрованою функцією g(x) по граничному інтервалу [a, b] по визначенню є
де
і . Якщо g(x) - функція граничної варіації, а f(x) - неперервна функція на [a, b], то границя існує.
Невласні інтеграли Лебега-Стилтьєса. Кожна функція g(x), не спадаюча і неперервна справа на граничному інтервалі [a, b], за допомогою нерівностей маємо:
де в квадратних дужках вказано множина значень х, визначає межу (межу Лебега-Стилтьєса) M[S] кожної борелевської множини на інтервалі [a, b]. Зауважимо, що
Відштовхуючись від межі Лебега-Стилтьєса граничних інтервалів по способу , а вводячи межу M[S] Лебега-Стилтьєса похідної вимірної множини, як загальне значення внутрішньої і зовнішньої межі.
Якщо задана функція y=f(x), обмежена і вимірна на інтервалі [a, b], то інтеграл Лебега-Стилтьєса від функції f(x) з інтегрованою функцією g(x) по [a,b] за визначенням є
для похідної розбивки інтеграла, що складає множину значень функцій f(x); Si і є множина значень х, в яких (про визначення межі )
Інтеграл Лебега-Стилтьєса від обмеженої або необмеженої функції f(x) по будь-якій вимірній множині можна визначити за способом b,c i d, допускаючи, що функція g(x) обмежена на кожній розглянутій обмеженій множині. В багатомірному випадку функція g(x) заміняється функцією, не спадаючою по кожному аргументу. Якщо примінивши рівність до суми двох монотонних функцій ..., визначити інтеграл Лебега-Стилтьєса з будь-якою інтегрованою функцією g(x) обмеженої варіації. Якщо інтеграл Рімана-Стилтьєса існує в змісті абсолютної збіжності, то відповідний інтеграл Лебега-Стилтьєса рівний йому.
С. Якості інтеграла Стилтьєса.
Якщо (a,b) - обмежений або необмежений інтервал, для якого існують розглянутіінтеграли, то
Якщо g(x) - неспадна функція на (a,b), тоді
Якщо g(x) - неспадна функція і на (a,b), тоді
Інтеграли Стилтьєса як правило мають "наглядний" зміст (криволінійні інтеграли, інтеграли по поверхні, по об'єму, інтеграли по розподілу маси, заряду і ймовірності). Зауважимо, що інтеграл Стилтьєса в якості особливих випадків включає в себе інтеграли і суми:
якщо функція g(x) неперевно диференційована на проміжку (a,b), та
Cвертки. Свертка Стилтьєса двох функцій f(х) та g(х) по проміжку (a,b) є по визначенню функцією
для всіх значень t, для яких ці два інтеграла існують і рівні. Класична свертка функцій f(х) та g(х) по проміжку (a,b) таким чином визначається як
В літературі часто просто називають сверткою функцій f(х) та g(х) по проміжку (a,b) або будь-яку з цих функцій позначають символом або f*g, справжній зміст як правило видно з контексту.
Якщо мають місце рівності, то
Якщо або якщо , якщо інтеграли існують, то рівності справедливі.
Свертка двох скінчених або нескінчених послідовностей та є послідовність
Нерівності Мінковського і Гельдера.
А. Якщо (a,b) - обмежений або необмежений інтервал, для якого інтеграли в правій частині існують, тоді
(нерівність Мінковського)
(нерівність Гельдера)
Ці нерівності вірні, для простих інтегралів Рімана і Леберга, для багатомірних інтегралів. Якщо =2 нерівність переходить в нерівність Коші-Шварца.
Б. З нерівності випливають відповідні нерівності для суми та для безмежних рядів, що сходяться. Якщо суми справа існують, тоді
(нерівність Мінковського)
(нерівність Гельдера)
Якщо =2 нерівність переходить в нерівність Коші-Буняковського.
Loading...

 
 

Цікаве