WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Дослідження на збіжність числових рядів (за допомогою часткових сум та необхідної умови збіжності ряду) - Реферат

Дослідження на збіжність числових рядів (за допомогою часткових сум та необхідної умови збіжності ряду) - Реферат


Реферат з математики
Дослідження на збіжність числових рядів (за допомогою часткових сум та необхідної умови збіжності ряду)
Приклад 1.
1). Нехай загальний член ряду . Записати п'ять перших ленів ряду.
Розв'язання.
При п=1 маємо
При п=2 дістаємо Аналогічно
2). Записати можливий загальний член ряду
Розв'язання.
Чисельники дробів утворюють арифметичну прогресію 1,4,7, ...; її п-й член знайдемо за формулою , де Отже,
Знаменники дробів утворюють геометричну прогресію 3, 32, 33, ..., п-й член якої Отже,
Приклад 2. Чи збігаються такі ряди:
Розв'язання .
Оскільки для кожного даного ряду , то ці ряди розбігаються.
Приклад 3. Дослідити на збіжність і знайти суми рядів:
Розв'язання.
а). Оскільки ап можна подати у вигляді то часткову суму Sп ряду можна записати так:
Тоді сума і ряд збігається.
б). У даному випадку
і
.
Тоді , ряд має суму , а тому збігається.
Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд
Розв'язання.
Через те, що суму n перших членів даного ряду можна записати
Після зведення подібних дістанемо
Отже,
Як бачимо, ряд збіжностей і його сума дорівнює 1.
Приклад 5. Дано числовий ряд Знайти суму Sn - його п членів і суму ряду S.
Розв'язання.
Розкладемо загальний член ряду на суму найпростіших дробів:
Знайдемо часткову суму ряду
Для визначення суми ряду знайдемо границю
Відповідь:
Приклад 6. Дослідити збіжність числового ряду
Розв'язання.
Необхідна умова виконується.
Заданий ряд - геометричний, зі знаменником а значить збігається.
Відповідь: ряд збігається.
Приклад 7. Дослідити на збіжність ряд
Розв'язання.
Це числовий ряд. Перевіримо, чи виконується необхідна умова збіжності. Для цього запишемо загальний член ряду і знайдемо його границю.
Оскільки , то наслідком з необхідної умови збіжності ряд розбігається.
Відповідь: ряд розбігається.
Приклад 8. Дослідити на збіжність ряд , використовуючи необхідну умову збіжності.
Розв'язування.
Для цього ряду невиконується необхідна умова збіжності ряду.
Дійсно,
і, значить
Таким чином, даний ряд збігається.
Приклад 9. Дано загальний член ряду:
Написати ряд в розгорнутому вигляді і перевірити, чи виконується необхідна умова збіжності ряду.
Розв'язання.
а). Знаходимо
тобто
Тому, що то необхідна ознака збіжності не виконується, отже ряд розбіжний.
б). Знаходимо
Записуємо ряд:
Необхідна ознака збіжності виконується, бо
Проте зробити висновок про збіжність ряду в даному випадку неможливо. Для встановлення збіжності ряду треба перевірити чи виконуються достатні умови збіжності.
Приклад 10. Дослідимо на збіжність ряд
Розв'язання.
Загальний член цього ряду має вигляд
і , тому ряди з загальними членами і збігаються і
А тому, вихідний ряд збігається, як сума збіжних рядів і
Приклад 11. Дослідити на збіжність числовий ряд користуючись означенням збіжності ряду.
Розв'язання .
Для визначення збіжності будь-якого ряду треба знайти часткову зрізану суму Sп , яка в нашому випадку становить
де загальний член часткової суми
Ряд збігається і ця границя дорівнює кінцевій величині. Для відшкодування lim Sп перетворимо загальний член ап , розглядаючи його як раціональний дріб від числа п, а 0, -1, -2, - як корені цілої раціональної функції, що міститься в знаменнику, тобто де А, В, С - визначені коефіцієнти. Маємо
Вираз запишемо у вигляді
Тепер
Звільнившись від дужок, знаходимо, що доданки, які стоять на парних і непарних місцях, взаємо знищуються. Залишається лише перший доданок і останнє
Тоді
Переходячи до границі, маємо:
Відповідь: ряд збігається і його сума
Приклад 12. Дослідити на збіжність ряди:
Розв'язання.
а). Ряд із загальним членом (-1)п-1 не є збіжним, оскільки не виконується необхідна умова збіжності ряду.
б). Ряд є збіжним, тому що його п-й залишок при оскільки
Тому при
в). Ряд можна розглядати, як різницю двох геометричних рядів і суми якиїх відповідно дорівнюють:
Тому, враховуючи, що при маємо
тобто сума заданого ряду дорівнює
Loading...

 
 

Цікаве