WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Дослідження на збіжність числових рядів з додатними членами (за допомогою ознак порівняння) - Реферат

Дослідження на збіжність числових рядів з додатними членами (за допомогою ознак порівняння) - Реферат


Реферат з математики
Дослідження на збіжність числових рядів з додатними членами (за допомогою ознак порівняння)
Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд
Розв'язання.
Для порівняння використовуємо ряд - збіжну геометричну прогресію (бо ). Справедлива нерівність , отже ряд збігається.
Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд , де - деяке дійсне число.
Розв'язання.
Так як для всіх і ряд збігається, то за ознакою порівняння даний ряд збігається для довільного .
Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд .
Розв'язання.
Ряд збігається, так як для всіх і ряд розбігається (як гармонічний).
Приклад 4. дослідити на збіжність ряд .
Розв'язання.
Збіжність ряду випливає з того, що його члени менші за (відповідні) члени збіжного ряду
;
.
А це означає, що збігається і даний (вихідний) ряд, бо він відрізняється від ряду лише першим членом.
Приклад 5. Дослідити на збіжність ряд .
Розв'язання.
Додатний ряд є розбіжним, оскільки його загальний член "схожий" на загальний член гармонічного ряду. Застосуємо другу ознаку порівняння: , і одержимо підтвердження висновку про розбіжність заданого ряду.
Ознаки Д'Аламбера та Коші не дають відповідь на питання про збіжність цього ряду. Наприклад, .
Приклад 6. Дослідити на збіжність ряд .
Розв'язання.
Тут . Для порівняння використаємо ряд з загальним членом - збіжну геометричну прогресію. Звідси:
тому, що , то обидва ведуть себе однаково і, значить, даний ряд збіжний.
Приклад 7. Дослідити на збіжність ряд .
Розв'язання.
Скористаємось першою ознакою порівняння рядів. Оскільки для всіх , а гармонічний ряд розбігається, то й заданий ряд є розбіжним.
Приклад 8. Дослідити на розбіжність ряд .
Розв'язання.
Враховуючи нерівність , встановлюємо, що заданий ряд - збіжний, оскільки таким є ряд (узагальнений гармонічний).
Приклад 9. Дослідити на збіжність ряд .
Розв'язання.
У цьому випадку зручно скористатись другою ознакою порівняння. Оскільки , то, враховуючи попередню вправу, встановлюємо, що заданий ряд є збіжний.
Приклад 10. Дослідити на збіжність ряд .
Розв'язання.
Порівняємо заданий ряд із рядом, у якого . Маємо
.
Тому заданий ряд є збіжним.
Приклад 11. Дослідити на збіжність за допомогою ознаки порівняння ряд .
Розв'язання.
Оцінимо загальний член даного ряду: . Ця нерівність виконується для всіх . Отже, члени заданого ряду менші від членів збіжного ряду , що є геометричним рядом зі знаменником . На основі першої ознаки рядів даний ряд збігається.
Відповідь: ряд збігається.
Loading...

 
 

Цікаве