WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Теорема про диференціювання функції - Реферат

Теорема про диференціювання функції - Реферат


РЕФЕРАТ
Теорема про
диференціювання функції.
Розділ: Диференціальне числення функцій змінної.
Тема: Теорема про диференціювання функцій.
І. Навчальна мета: засвоїти студентам геометричне застосування визначених інтегралів.
ІІ. Між предметна інтеграція: математика.
ІІІ. Зміст:
1. Опрацювати навчальний матеріал.
2. Дати відповіді на питання.
3. Опрацювати приклади.
ІV. План.
1. Формула Тейлора.
V. Контрольні питання:
1. Вивести формулу Тейлора. Способом інтегральних сум вивести формулу для обчислення площі поверхні обертання.
2. Вивести формулу Тейлора для функції при х0=1, n=3.
VI. Використана література:
1. Барковський В.В., Барковська Н.В. "Математика для Економістів" Вища математика. К.: Наукова Академія Управління, 1997. - 397 с. cт. 238-244.
Формула Тейлора
Розглянемо одну з основних формул математичного аналізу, так звану формулу Тейлора, яка широко застосовується як в самому аналізі, так і в суміжних дисциплінах. Зупинимося лише на трьох застосуваннях.
В п. 3.3 ми бачили, що заміна приросту функції ЇЇ диференціалом дає змогу утворювати різні наближені формули. Виявляється, що ці формули можна уточнити, якщо застосувати диференціали вищих порядків: про це і йдеться у формулі Тейлора.
Формула Тейлора дає змогу розробити простий аналітичний апарат для обчислення значень функції у = f (x), які відповідають заданим значенням незалежної змінної х. Зрозуміло, що в тих випадках, коли функція задається формулою виду , значення обчислюється лише за допомогою чотирьох арифметичних дій. Але як знайти, наприклад, значення функції Очевидно, цю задачу найпростіше можна "розв'язати" за допомогою калькулятора. Але ж калькулятор дає лише відповідь. А питання проте, які він при цьому виконує дії, залишається відкритим. Формула Тейлора і вказує, які арифметичні дії потрібно виконати над х, щоб одержати sin x.
Іншими словами, формула Тейлора дає змогу зобразити дану функцію многочленом, що зручно для складання програм і обчислень цієї функції на ЕОМ.
Ще одне практичне застосування цієї формули пов'язане з обробкою числових експериментальних даних. Якщо в результаті експерименту одержано масив значень (xі; уі), то спочатку будують графік залежності у = (х), а потім цю залежність описують аналітичне, причому, як правило, у вигляді многочлена.
Обгрунтування можливості представляти функцію многочленом дає формула Тейлора.
Теорема. Нехай функція f (х) має в точці х0 і в деякому її околі похідні до (n + 1)-го порядку включно, і нехай х - довільне значення аргументу із вказаного околу (х х0). Тоді між точками х0 і х знайдеться така точка с, що справедлива формула
О Позначимо многочлен, то стоїть у правій частині формули (1) через (х, х0):
(2)
Його називають многочленом Тейлора степеня n для функції (х). Різницю між функціями (х) і (х, x0) позначимо через Rn (х):
Теорема буде доведена, якщо встановимо, що
(3)
де точка С лежить між точками х0 і x;.
Зафіксуємо довільне значення х > x0 із вказаного околу. Позначимо через t величину, що змінюється на відрізку [х0;х], тобто х0 t х, і розглянемо функцію
(4)
Ця функція задовольняє всіумови теореми Ролля, тому знайдеться точка с (х0; х) для якої
F'(c) = 0. (5)
Якщо в функцію (4) підставити значення функції (х, t) з формули (3) і результат продиференціювати по t, то знайдемо
(6)
Покладемо у формулі (6) t = с, тоді з рівності (5) дістанемо
Розв'язуючи це рівняння відносно Rn(x), дістанемо формулу (3).
Формула (1) називається формулою Тейлора для функції f(х) в околі точки х0, а вираз (3) для Rn(х) - залишковим членом у формі Лагранжа. Величина Rn(х) показує, яку помилку ми робимо, замінюючи функцію (х) її многочленом Тейлора (2).
При цьому формулу (3) можна використати для того, щоб оцінити величину Rn(х) при х х0 і фіксованому n, а також при n .
Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (1) при х0 = 0:
(7)
де точка с знаходиться між 0 i x (с = х, 0 < 0 < 1).
Подамо формулу (1) через диференціали вищих порядків. Для цього покладемо в ній х - х0 = х, х = х0 + х:
(8)
Оскільки , то формулу (8) можна записати у вигляді
(9)
Покажемо, що коли функція (х) в околі точки х0 обмежена, то залишковий член Rn(x) при х x0 є нескінченно малою вищого порядку, ніж (х- x0)n:
тому що добуток обмеженої величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала.
Таким чином, обриваючи формулу (8) або (9) все далі і далі, дістаємо все точніші наближені формули: з точністю до величини або з точністю до величини
або
з точністю до величини
або
Те саме можна сказати про формулу (1): для тих значень х, для яких залишковий член Rn(х) достатньо малий, многочлен Тейлора (2) дає наближене зображення функції (х).
Рис. 1 Рис. 2
Многочлени Тейлора дають найкраще наближення функції (х) у вигляді многочлена даного степеня поблизу точки х0. Це треба розуміти так (рис. 1): серед усіх многочленів цього степеня, які збігаються з функцією при х = х0, лише для многочлена Тейлора величина |Rn(х)| виявляється найменшою.
Із формули (3) видно, що залишковий член Rn(x) може бути малим навіть при великому відхиленні х від х0, якщо взяти достатньо великим порядок n многочлена Тейлора, тому що факторіал при збільшенні n росте швидше степеня.
Приклади.
1. Знайти многочлен Тейлора для функції (х) = еx, який зображав би цю функцію на відрізку [-1;1] з точністю до 0,001. Обчислити наближене значення е. О 3 попереднього прикладу маємо
Підберемо таке n, при якому модуль залишкового члена був би меншим від числа 0,001, маючи на увазі, що | к | 1, число с лежить між 0 і х та ;
Отже, n = 6, тому з точністю до 0,001 справедлива наближена формула
Якщо в цій формулі покласти, наприклад, х = 1, то матимемо наближене значення числа е:
2. Знайти многочлен Тейлора Р3(х-1) третього степеня відносно двочлена х - 1 для функції
О Маємо
Поклавши у формулі Тейлора (1) х0 = 1 і n = 3, дістанемо
де с лежить між 1 і х, тому
Формулу (1) можна записати у вигляді
(10)
Коли функція (х) є многочленом Рn(х) степеня n, то похідна тому формула (10) матиме вигляд
(11)
Ця формула називається формулою Тейлора для многочлена.
Loading...

 
 

Цікаве