WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінійна алгебра. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь - Реферат

Лінійна алгебра. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь - Реферат


Реферат на тему:
Лінійна алгебра.
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими
.
Кожне з цих рівнянь задає деяку пряму на площині. Позначимо основну матрицю цієї системи через , а розширену матрицю через .
Можливі три такі випадки:
- ранг матриці r(A)=2. Вектори (a1;b1;c1) та (a2;b2;c2), отже, є лінійно незалежними і система має єдиний розв'язок (x0;y0). Геометрично маємо дві прямі на площині, які перетинаються в одній точці;
- ранг розширеної матриці r(B)=2, а ранг основної r(A)=1. Вектори (a1;b1;c1) та (a2;b2;c2) є лінійно незалежними, а вектори (a1;b1) та (a2;b2) - лінійно залежними. Рівняння системи це дві паралельні прямі., Отже, система не має розв'язків;
- ранг як основної, так і розширеної матриці дорівнює одиниці: r(A)=r(B)=1. Вектори (a1;b1;c1) та (a2;b2;c2) є лінійно залежними. Геометрично маємо дві прямі, які збігаються. Система має безліч розв'язків.
Розглянемо тепер систему трьох рівнянь з трьома невідомими
.
Кожне рівняння цієї системи задає деяку площину в просторі.
Можливі такі випадки:
- усі три площини перетинаються в одній точці (x0;y0;z0). Ранг r(A)=3. Система має єдиний розв'язок (x0;y0;z0);
- усі три площини перетинаються по одній прямій (при цьому площини можуть збігатися). Ранг r(A)<3 та ранг r(B)<3. Система має безліч розв'язків;
- хоча б дві площини є паралельними між собою (r(A)<3 та r(B)=3). Система розв'язків не має.
Розглянемо систему двох рівнянь з трьома невідомими
Можливі лише такі випадки:
- дві площини, задані цими рівняннями, паралельні. Це є тоді, коли ранг звичайної (основної) матриці r(A)=1, а ранг розширеної - r(B)=2. Система розв'язків не має;
- обидві площини співпадають. Вектори (a1;b1;c1;d1) та (a2;b2;c2;d2) лінійно залежні. Система має безліч розв'язків;
- площини перетинаються по прямій. Ранги обох матриць r(A)=r(B)=2. Ці ранги є меншими від кількості невідомих системи. Система, отже, має безліч розв'язків.
Зазначимо, що множиною розв'язків у другому випадку є площина, а в третьому - пряма. Тому розв'язати систему двох рівнянь з трьома невідомими означає описати аналітично множину всіх розв'язків.
Приклад. Розв'язати систему
Перенесемо змінну x у праву частину: .
Помножимо перше рівняння на -2 і додамо до другого:
4z = -28
Помножимо перше рівняння на 2 і додамо до другого:
-8y = 32-4x
Розв'язуючи отриману систему , знаходимо:
y = (1/2)x-4 ; z = -7.
Отже, загальний розв'язок початкової системи має вигляд
{(x; -4+0,5x;7)|x R}. Надаючи параметру x різних значень, ми отримуємо конкретні розв'язки. Наприклад, при x=1 розв'язком є трійка чисел
(1; -3,5; -7), при x=0 - (0; -4; -7) , а при x=5 - (10; 1; -7). Трійку чисел (2; 2; 2) не можна отримати при жодному значенні параметра, отже, розв'язком системи вона не є.
Розглянемо методи розв'язування систем n лінійних рівнянь з n невідомими
.
Одним із способів є використання оберненої матриці:
.
Розглянемо також правило Крамера.
Нехай визначник матриці .
Введемо позначення
(i=1,…,n).
Виконується така теорема: Якщо 0, то система
має єдиний розв'язок, який знаходиться за такими формулами (формулами Крамера):
. (1.7)
Якщо =0 і в множині { 1,…, n} є ненульові елементи, то система рівнянь розв'язків не має. Якщо ж = 1=… n=0 , то система має безліч розв'язків.
Приклад.
.
Тут
Отже, x1=81/27=3; x2=(-108)/27=-4; x3=(-27)/27=-1; x4=27/27=1.
У шкільному курсі математики вивчають метод послідовного вилучення невідомих (метод Гауса). Ми наведемо модифікований метод вилучення невідомих - так званий метод Жордана-Гауса.
Розглянемо схему Жордана-Гауса на прикладі розв'язування конкретної системи ,
яку у матричному вигляді записують так: .
Початкова таблиця має такий вигляд:
.
Числа -2 та -3 це елементи другого та третього рядка (взяті з протилежним знаком), які розташовані в тому стовпці, де в першому рядку є число 1.
Множимо перший рядок на числа -2 та -3 й отримуємо, відповідно, вектори (-2; -4; 6; 12) та (-3; -6; 9; 18). Додаємо ці вектори до другого і третього рядків:
.
Ділимо всі елементи другого рядка на -5, роблячи діагональний елемент таблиці одиничним:
.
Розпочинаємо наступний етап методу. Множимо другий рядок на -2 та на 4 й отримуємо вектори (0; -2; 14/5; 22/5) і (0; 4;-28/5;-44/5). Додаємо ці вектори до першого та третього рядків:
,
і робимо ще один діагональний елемент одиницею (ділимо на 22/5):
.
На останньому кроці множимо третій рядок на 1/5 та 1/7 і додаємо утворені вектори (0;0;1/5;3/5) і (0;0;7/5;21/5) до першого та другого рядка:
, тобто отримуємо систему рівнянь
, розв'язками якої є числа x1= -1; x2=2; x3=3.
Якщо під час обчислень у схемі Жордана-Гауса деякий рядок повністю стає нульовим ( 0 0 0 | 0 ), то це є ознакою того факту, що система має безліч розв'язків.
Якщо ж цей рядок стає нульовим за винятком вільного члена
( 0 0 0 | bi 0 ), то система розв'язків не має.
Приклад. Модель міжгалузевого балансу Леонтьєва.
Нехай у деякій державі є три галузі господарства: промисловість, сільське господарство та виготовлення ЕОМ. Нехай x1, x2, x3 обсяги виробництва у цих галузях. Нехай також y1, y2 y3 обсяги кінцевого виробництва (виробництва на продаж, виробництва без внутрішнього споживання) цих галузей (рис. 1.3).
a11x1 a22x2
a12x2
1 2 y2
Промисловість с/г
y1 x1 x2
a21x1
a31x1 a13x3 a23x3 a32x2
3
Виготовлення
ЕОМ
x3 y3
a33x3
Рис. 1.3.
Нехай aij кількість одиниць продукції i-ої галузі, яка йде на виробництво однієї одиниці продукції j-ої галузі. Зокрема, кожна одиниця продукції сільськогосподарської галузі (галузі номер 2) використовує a12 одиниць продукції промисловості (галузі номер 1) та a32 одиниць продукції галузі, яка виготовляє комп'ютери.
Тоді сільське господарство в цілому використовує для випуску своєї продукції a12x2 одиниць продукції промисловості та a32x2 одиниць продукції комп'ютерної галузі. Крім того, сільське господарство витрачає a22x2 одиниць власної продукції (наприклад, відгодівля худоби потребує певних затрат кормів).
Отже, для другої галузі маємо таке рівняння балансу:
x1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 + y1
Записавшианалогічні рівняння для кожної із галузей, отримуємо систему лінійних рівнянь:
.
Цю систему для випадку n змінних записують також у вигляді
та в матричному вигляді
(1.8)
Побудована система міжгалузевого балансу (модель Леонтьєва) дає змогу за обсягами виробництва в окремих галузях контролювати їхній кінцевий продукт та навпаки.
Із формули (1.8) випливає, що вектор кінцевої продукції в моделі Леонтьєва визначається формулою
, (1.9)
а вектор загального випуску -
. (1.10)
Loading...

 
 

Цікаве