WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Аналітична геометрія на площині та ін. (різне) - Реферат

Аналітична геометрія на площині та ін. (різне) - Реферат

де х - незалежна змінна (d2x)=0:
d2y=у''dx2.
III. Інтегральне числення.
1. Якщо dy=f(x)dx, то y= (незвичайний інтеграл).
2. Основні властивості незвичайного інтеграла:
а)
б) в) (А 0)
г)
Таблиця найпростіших невизначених інтегралів.
1) (m -1).
2) , (при х0).
3) ;
4) (a>0, a 1).
5) .
7
де h=(b-a)/n, x0=a, xn=b, y=f(x), yi=f(x0+ih), (i=0,1,2,…,n).
11. Формула Сімпсона:
де h=(b-a)/2.
12. Невласний інтеграл:
13. Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у=f(x) (f(x) 0), віссю Ох і двома вертикалями х=а, х=b (a14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією =f( ) ( i - полярні координати) і двома промінями = , = ( < ): .
15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x) в прямокутних координатах х і у від точки х=а до точки х=b (a.
16. Довжина дуги гладкої кривої =f( ) в полярних координатах і від точки = до точки = ( < ):
,
17. Довжина дуги гладкої кривої х= (t) y= (t), задано параметрично (t018.Об'єм тіла з відомим поперечним перерізом S(x):
10
9. Ряд Маклорена.
10. Розклад в степеневі ряди функцій:
а) , при x < 1;
б) ln(1+x) = , при -1в) , при x 1;
г) , при x < + ;
д) ,
при x < + ;
е) , при x < + ;
ж) ,
при x < 1.
11. Ряд Тейлора.
12. Ряди в комплексній області: .
13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд збігається, то ряд
19
також збігається (абсолютно).
14. Формули Ейлера: , .
15. Тригонометричний ряд Фур є кусково-гладкої функції f(x) періоду 2l має вигляд:
, (1)
де , (n=0, 1, 2,…);
, (n=1, 2,…).
(коефіцієнти Фур є функції f(x)). Для функції f(x) періоду 2 маємо ,
де , (n=0, 1, 2,…).
В точках розриву функцій f(x) сума ряду (1) дорівнює
16. Якщо 2l - періодична функція f(x) парна, то
,
де , (n=0,1, 2,…).
Якщо 2l - періодична функція f(x) непарна, то
,
20
де і
6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні):
а) ; б)
в) г)
д)
е)
ж)
7. Теорема про середнє: якщо f(x) - неперервна на [a,b], то
, де а8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:
9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі:
де а= ( ), b= ( ).
10. Формула трапецій: ,
9
z=r(cos +isin ), де r= z ; =Arg z
5. Теореми про модуль та аргумент:
а) z1+z2 z1 + z2 ; б) z1z2 z1 z2 ,
Arg z1z2=Arg z1+Arg z2;
в) Arg =Arg z1-Arg z2; (z2 0);
г) zn = z n; Arg zn=n Arg z (n - ціле).
6. Корінь з комплексного числа:
, (k=0,1,2,…,n-1)
7. Показникова формула комплексного числа:
z = r ei , де z = z , = Arg z.
8. Визначник другого порядку:
.
9. Розв'язок системи знаходяться за формулами: х= х/ ; у= у/ (правило Крамера), де
.
10. Розв'язок однорідної системи: визначається за формулами: х= 1t, y=- 2t, z= 3t; (- де -
мінори матриці .
12
3. Повний диференціал функції z = f(x, y) від незалежних змінних х, у:
де dx= x, dy= y.
Якщо U = f(x, y, z), то .
4. Малий приріст диференційованої функції:
5. Похідна функції U = f(x, y) по напряму l, заданому одиничним вектором {cos , cos } дорівнює:
.
Аналогічно, якщо U = f(x, y, z) і {cos , cos , cos } - одиничний вектор напряму l, то
6. Точки можливого екстремуму диференціальної функції U = f(x, y, z) визначаються з рівнянь:
f х(x, y, z)=0; f y(x, y, z)=0; f z(x, y, z)=0
7. Градієнтом скалярного поля U = f(x, y, z) є вектор
Звідси .
8. Якщо P(x, y)dx + Q(x, y)dy є повним диференціалом в області G, то
17
((x, y) є G).
(ознака повного диференціалу.).
VIII. Ряди.
1.Основне означення: .
2. Необхідна ознака збіжності ряду:
якщо ряд збігається, то .
3. Геометрична прогресія: , якщо q 0) існує
Тоді: а) Якщо l 1, то ряд розбігається, Un непрямує до 0.
6. Абсолютна збіжність. Якщо ряд збігається, то ряд також збігається (абсолютно).
7. Ознака Лейбніца. Якщо і при , то знакозмінний ряд V1-V2+V3-V4+… - збігається.
8. Радіус збіжності степеневого ряду а0+а1х+а2х2+… визначається за формулою: , якщо остання має зміст.
18
.
19. Об'єм тіла обертання:
а) навколо осі Ох: (aб) навколо осі Оу: (c 0, і протилежний до нього, якщо k < 0.
4. Вектор і колінеарні, якщо (k - скаляр).
Вектори , , компланарні, якщо ,(k,l-скаляри)
5. Скалярним добутком векторів і є число
, де =<( , ).
Вектори і ортогональні, якщо * = 0.
Якщо і , то .
6. Векторним добутком векторів і є вектор ,
де , , ( = <(a,b)),
причому а, b, с - права трійк.
Якщо і , то , де
i, j, k - одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.
7. Мішаний добуток являє собою об'єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с.
Якщо , , , то
14
.
VI. Аналітична геометрія в просторі.
1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у, z) простору Охуz є:
x=rx , y=ry , z=rz , де r= - радіус-вектор точки М.
2. Довжина та напрям вектора а={ax,ay,az} визначаються формулами: ;
cos =ax/a; cos =ay/a; cos =az/a,
(cos2 +cos2 +cos2 =1),
де cos , cos , cos - напрямні косинуси вектора а.
3. Відстань між двома точками M1(x1,y1,z1) i M2(x2,y2,z2):
.
4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C} 0, що проходить через точку M0(x0,y0,z0) є N (r-r0)=0,…(1)
де r - радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z) і r0 - радіус-вектор точки М0.
В координатах рівняння (1) має вид:
А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 або Ax+By+Cz+D=0 (2)
де D= -Ax0-By0-Cz0 (згальне рівняння площини).
5. Відстань від точки M1(x1,y1,z1) до площини (2) дорівнює:
6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі:
r=r0+st (3)
15
де r{x,y,z} - текучий радіус-вектор прямої; r0{x0,y0,z0} - радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p} 0 - напрямнийвектор прямої і t - параметр (- В координатній формі рівняння прямої (3) має вигляд:
.
7. Пряма лінія як перетин площин визначається рівняннями: (4)
Напрямним вектором прямої (4) є S=N N , де N={A,B,C}, N ={A ,B ,C }.
8. Рівняння сфери радіуса R з центром (x0,y0,z0):
.
9. Рівняння трьохосьового еліпса з півосями a,b,c:
.
10. Рівняння параболоїда обертання навколо осі Оz:
x2+y2=2pz.
VII. Диференціальне числення функції
декількох змінних.
1. Умова некперервності функції z=f(x,y):
,
або
Аналогічно визначається неперервність функції f(x, y, z).
2. Частинні похідні функції z = f(x, y) по змінних х, у:
16
11. Визначник третього порядку:
де - алгебраїчні
доповнення відповідних елементів визначника.
12. Розв'язок системи визначається за формулою Крамера х= х/ ; у= у/ ; z= z/ ,
де
.
13. Розв'язок однорідної системи , якщо
знаходяться з підсистеми: .
13
Loading...

 
 

Цікаве