WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Послідовності та їхні границі - Реферат

Послідовності та їхні границі - Реферат


Реферат на тему:
Послідовності та їхні границі
Означення. Послідовністю називається множина чисел {xn} =
= x1,x2,…,xn,…, яка підпорядковується певному закону.
Числова послідовість може бути як скінченною, так і нескінченною.
Приклади послідовностей.
1. {xn} = 0, 1, 4, 9, 16, …
Тут загальний член послідовності {xn} заданий формулою xn = n2.
2.
3. xn n-е за порядком просте число, тобто
x1=1; x2=2; x3=3; x4=5; x5=7; x6=11;…
Означення. Число A називається границею послідовності {xn}, якщо для довільного числа >0 знайдеться такий номер N, починаючи з якого всі члени послідовності потрапляють у -окіл числа A .
Використовується запис .
За допомогою кванторів ? ("існує") та ? ("для всіх") останнє означення можна записати так:
? (? >0)(?N)(?n)[n>N |A-xn| < ]
Приклад. Розглянемо послідовність . Її границею є число 10. Зокрема, для =0,1 номер N дорівнюватиме 10, оскільки
|A-x11|=|10-10-1/11|<0,1= ; |A-x12|=|10-10-1/12|<0,1= ; . . .
Для =0,02 таким номером буде N=50 і так далі.
Послідовність xn=n2 границі не має. Не має границі також послідовність 1,1; 2,1; 1,01;2,01;1,001;…
Означення. Послідовність, яка має границю, називається збіжною. Послідовність, границею якої є число нуль, називається нескінченнно малою.
Приклад. Нехай . Очевидно, що .., тобто xn нескінченно мала послідовність.
Наведена нижче теорема описує властивості границь послідовностей.
Теорема. Якщо послідовності {xn} та {yn} збіжні, і , то послідовності {xn ± yn}, {xn yn} також є збіжними, причому
, .
Якщо B 0, то послідовність є збіжною, і .
Приклади.
1. Знайти .
Це послідовність вигляду {xn yn}. Згідно з теоремою
.
2. Знайти .
Маємо послідовність вигляду , у якій як послідовність {xn}={n+5} , так і послідовність {yn}={4n} не є збіжними. Для того, щоб застосувати попередню теорему, потрібно спершу виконати штучний прийом: поділити як чисельник, так і знаменник на n .
.
Тепер .
3. Знайти
.
Розглянемо дві числові послідовності спеціального вигляду.
Приклад. Задано арифметичну прогресію:
{an} = a1, a1+d, a2+d, a1+3d,…
Величина d називається різницею прогресії. Загальний член an арифметичної прогресії обчислюють за формулою an=a1+(n-1)d. Сума перших членів прогресії .
Наприклад, для прогресії {xn} =2; 12; 32; 42; . . .
an = 2+10(n-1) = 10n-8
Очевидно, що будь-яка арифметична прогресія є розбіжною послідовністю.
Приклад. Задано геометричну прогресію
b1; b1q; b1q2; b1q3; . . .
Величина q називається знаменником геометричної прогресії. Загальний член прогресії має вигляд bn=b1qn-1. Сума перших членів прогресії . (3.1)
Наприклад, для прогресії 1; 1/2; 1/4; 1/8;…;1/16;. . . загальний член bn=1 (1/2)n-1, а сума n перших членів , зокрема, S2=3/2.
При |q| < 1 послідовність b1; b1q; b1q2; b1q3; ... є нескінченно малою. Така послідовність називається нескінченою геометричною прогресією.
Сума всіх членів нескінченної (нескінченно спадної) геометричної прогресії
(3.2)
Приклад. Сума всіх членів прогресії 1; 1/2; 1/4; 1/8; . . .
.
Приклад. Сума всіх членів прогресії 1; -1/2; 1/4; -1/8; . . .
(тут q = - 1/2 ).
Loading...

 
 

Цікаве