WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня - Реферат

Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня - Реферат


Реферат на тему:
Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня
На практиці досить часто функція y залежить не від однієї змінної x, а від багатьох аргументів x1,…,xn.
Означення. Множина значень {x1,…,xn}, за яких вираз f(x1,…,xn) має зміст, називається областю визначення функції від n змінних y = f(x1,…,xn).
Приклади.
1. Функція від двох змінних z=3x+5xy+y2. Область визначення цієї функції - всі пари дійсних чисел (x;y).
2. Функція від чотирьох змінних y=2x1+3x2-x3+7x4.
3. Функція від трьох змінних V=V(a,b,c)=a b c. Об'єм паралелепіпеда є функцією від довжин його сторін.
4. Функція від двох змінних Q=F(K,L). Обсяг випущеної продукції Q є функцією від кількості затраченого капіталу K та кількості затраченої праці L. Областю визначення цієї функції є множина {K 0; L 0}.
5. Область визначення функції визначається з нерівності 100-x2-y2 0, тобто x2+y2 102. Це круг з центром у початку координат і радіусом r = 10.
Функція від двох змінних (аргументів) f(x,y) представляє собою деяку поверхню в трьохвимірному просторі. Зокрема, графіком функції є верхня половина сфери (рис. 6.1).
z
6 8 10 y
x
Рис. 6.1.
Функції від двох змінних геометрично зображають також за допомогою ліній рівня (ліній однакового рівня, ізоліній).
Означення. Лінією рівня функції від двох змінних z=f(x,y) називається множина точок площин OXY таких, що f(x,y)=const=C.
Прикладом ізоліній є паралелі та меридіани.
Приклади.
1. Побудуємо лінії однакового рівня функції . При C=0 маємо тобто x2+y2=102 (коло з радіусом r=10, рис.6.2).
При C=6 отримуємо тобто x2+y2=82 . Отже лінією рівня, яка відповідає константі C=6, є коло з радіусом r = 8.
При C=8 отримуємо ізолінію (неявну функцію y від x) x2+y2=62.
y
6 8 10 x
Рис. 6.2.
2. Для випуску продукції Q використовують ресурси x1 та x2. Виробнича функція має вигляд Q=10x1+20x2 (ресурси повністю взаємозамінні, наприклад, цвяхи та шурупи).
Зобразити ізолінії для Q=Q(x1,x2) (лінії однакової кількості (quantity) продукції, ізокванти ).
Очевидно, що при C=60 ізолінія (ізокванта) - це відрізок прямої 10x1+20x2=60, а при C=40 - відрізок прямої 10x1+20x2=40 (рис. 6.3).
(Ресурс x1)
4 Q=60
3
2 Q=40
1
1 2 3 4 5 6 (Ресурс x2)
Рис. 6.3.
3. Виробнича функція має вигляд Q=min{10x1,20x2} (ресурси повністю взаємодоповнюючі, наприклад, калійні та азотні добрива).
Тоді в точках (x1=2, x2=1), (x1=4, x2=1), (x1=2, x2=3) значення Q=40. У точках (x1=4; x2=2) та (x1=4; x2=4) випуск набуває значення Q=80. На рис. 6.4 зображені лінії однакового рівня (ізокванти) для кількості продукції Q.
(Ресурс x1)
5
4
3
2 Q=80
1 Q=40
1 2 3 4 5 (Ресурс x2)
Рис. 6.4.
Зазначимо, що в другому та третьому прикладах зобразити функцію Q=Q(x1,x2) геометрично в тривимірному просторі дуже складно.
4. Випуск продукції Q, як функцію від вкладеного капіталу Kта кількості затраченої праці L, задається формулою Q=K0.6 L0.4 (часткова взаємозамінність і часткова взаємодоповнюваність ресурсів).
На рис. 6.5 зображено лінії однакового значення Q (тобто, графіки неявних функцій K0.6 L0.4=10 та K0.6 L0.4=20):
K
Q=20
Q=10
L
Рис. 6.5.
У тривимірному просторі функція Q=K0.6 L0.4 є поверхнею, що зображена на рис. 6.6.
Q
K
L
Рис. 6.6.
5. Розглянемо виробничу функцію Кобба-Дугласа вигляду Q=K L1- (0< <1) і побудуємо лінії однакового рівня для різних значень параметрів та C.
При =0,5 та C=2 маємо 2 = K0.5 L0.5 , звідки K= 2L-1.
При =0,3 та C=1 отримуємо 1 = K0.3 L0.7 , звідки K= 2L-7/3.
На рис. 6.7 зображені лінії однакового рівня за даних значень та C.
K
=0,5 ; C=2
=0,3 ; C=1
L
Рис. 6.7.
6. Нехай виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд Q=K L (0< , <1). На рис. 6.8,а та 6.8,б показані тривимірні зображення цієї функції (та лінії однакового рівня) для випадків + 1, відповідно.
+ 1
Q Q
K K
L L
а б
Рис. 6.8.
Loading...

 
 

Цікаве