WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Частинні похідні. Повний диференціал - Реферат

Частинні похідні. Повний диференціал - Реферат


Реферат на тему:
Частинні похідні. Повний диференціал
Означення. Нехай задано функцію z=f(x,y) і нехай деяку точку з області визначення цієї функції (x,y). Якщо аргумент x отримує приріст dx, а аргумент y - приріст dy, то вираз dz=f(x+dx,y+dy)-f(x,y) називають повним приростом функції f(x,y) .
Означення. Функція f(x,y) називається неперервною у точці (x0,y0), якщо
.
Попередні означення легко переносяться із випадку двох змінних на випадок функції від n (n>2) змінних.
Означення. Величини dxz=f(x+dx,y)-f(x,y) та dyz=f(x,y+dy)-f(x,y) називаються частинними приростами функції f(x,y) .
Означення. Частинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за аргументом x називається границя
(6.1)
Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y визначаєють аналогічно.
Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі позначення :
f x(x,y); z x; ;
f y(x,y); z y; .
Частинні похідні та задають напрями дотичних до поверхні z = f(x,y). Варто пригадати, що звичайна похідна f (x) = задає напрям дотичної до кривої y = f(x).
Приклади
1. Нехай
Тоді
2. Нехай Q=K0.6 L0.4. Знайдемо відповідні частинні похідні
(Випуск продукції зростає зі збільшенням затрат як капіталу, так і праці).
3. Побудуємо другі частинні похідні від функції Q=K0.6 L0.4 .
(Граничний випуск продукції спадає зі збільшенням як затрат капіталу, так і затрат праці).
4. Знайдемо змішані частинні похідні другого порядку :
Теорема: Якщо функція z = f(x,y) та її похідні z x , z y , z xy і z yx неперервні в точці (x,y) та деякому околі цієї точки, то z xy = z yx .
Означення. Повним диференціалом dz від функції z =f(x,y) називають суму її частинних диференціалів :
(6.2)
Приклад.
Тоді
Поняття повного диференціала має ряд застосувань. По-перше, величина dz є приростом (по z) дотичної площини до поверхні z =f(x,y), аналогічно до того, як диференціал dy від функції f(x) є приростом ординати дотичної до кривої y = f(x) (рис. 6.9,а - б).
z y y=f(x)
z=z(x,y) dy
dz
dy x=dx
dx y x
x
a б
Рис. 6.9.
По-друге, за допомогою диференціала можна оцінити похибку функції від багатьох змінних, якщо відомі похибки аргументів:
,
де - похибки аргументів.
По-третє, з використанням диференціала можна знаходити похідні від функцій, заданих неявно.
Приклад.
Нехай та . Потрібно оцінити похибку функції .
Маємо
Отже,
Нехай потрібно знайти похідну у тому випадку, коли функція задана неявно у вигляді . Узявши від функції F(x,y) повний диференціал, отримуємо
звідки .
Приклад.
Знайти похідну якщо
Маємо
звідки .
За допомогою неявних похідних в економіці визначають граничні норми (частки, квоти, rate) заміни.
Приклад. Виробнича функція має вигляд Q=10x1+15x2, де x1 та x2 -затрати ресурсів (факторів виробництва). Потрібно знайти граничну норму технологічної заміни ресурсу x2 на ресурс x1 (під граничною нормою технологічної заміни ресурсу x2 на ресурс x1 в економіці розуміють додаткову кількість ресурсу x1, яка компенсує зменшення ресурсу x2 на одиницю). Очевидно, що ця гранична норма (MRTS) технологічної заміни в неперервному випадку є похідною від змінної x1 за змінною x2 за умови сталого випуску Q:
.
Отже, у разі зменшення кількості ресурсу x2 на одиницю та одночасного збільшення ресурсу x1 на 1,5 одиниці випуск Q залишиться не змінниться (рис. 6.10).
x2
1
x1
1,5
Рис. 6.10.
Приклад. Виробнича функція має вигляд Q=K0,6 L0,4 (функція Кобба-Дугласа). Гранична норма (частка) технологічної заміни праці капіталом у цьому випадку с
.
Як бачимо із останньої формули, значення MRTS (marginal rate of technological substitution) для функції Кобба-Дугласа залежить від співвідношення K/L.
Loading...

 
 

Цікаве