WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Первісна функція та невизначений інтеграл - Реферат

Первісна функція та невизначений інтеграл - Реферат


Реферат на тему:
Первісна функція та невизначений інтеграл
Задачею диференціального числення було знаходження похідної від заданої функції y=f(x). Задача інтегрального числення протилежна: потрібно визначити функцію, похідна від якої відома.
Означення. Функція F(x) називається первісною для функції f(x), якщо f (x)=F(x).
Приклад. Для функції y=3x2 первісними є функції F(x)=x3; F(x)=x3+5; F(x)=x3-6,3 тощо.
Означення. Невизначеним інтегралом від функції f(x) називається сукупність усіх первісних цієї функції.
Використовується позначення
,
де f(x)dx - підінтегральний вираз, а C - стала інтегрування.
З геометричного погляду невизначений інтеграл - це сукупність (сім'я) ліній F(x)+C (рис. 7.1).
y y=x3+5,2 (C=5,2)
y=x3+2 (C=2)
y=x3-3 (C= -3)
x
Рис.7.1.
Наведемо таблицю основних інтегралів. Доведення кожної рівності полягає у її диференціюванні.
(n -1) , у тому числі
;
;
;
;
, у тому числі ;
;
;
;
;
, у тому числі ;
, у тому числі ;
.
Приклади.
1) . Справді, ;
2) ;
3) .
Із означення невизначеного інтеграла випливають такі властивості інтегрування:
1) ;
2) ;
3) (метод заміни змінних, метод підстановки);
4) (інтегрування частинами).
Приклади.
1. Знайти . Виконуємо заміну (підстановку) x/4=t.
Тоді dx=4dt, отже,
2. Знайти . Виконуємо заміну 2x=t, звідки 2dx=dt. Тепер
3. Знайти . При заміні x=t3-1 маємоx+1=t3 , dx=3t2dt і далі
1. Знайти (заміна 4x=t).
2. Знайти (заміна 6x-5=t).
Інтегрування частинами потребує певних навиків. Розглянемо цей спосіб на прикладах.
Приклади.
1. Знайти інтеграл . Позначимо вираз lnx через u, а вираз x3dx через dv. Знаходимо du та v:
Отже,
.
2. Знайти . Позначимо u=x, dv=e2xdx. Звідси du=dx, v=(1/2) e2x. Тоді
.
Для інтегрування раціональних дробів, тригонометричних виразів тощо, використовуєть спеціальні прийоми. Розглянемо два приклади відшукання невизначених інтегралів від раціональних дробів.
Приклади.
1) ;
2)
.
В економіці часто застосовують такі функції, як y=lnx та y=1-e-x. Інтеграли від цих функцій :
;
(перевірка виконується диференціюванням).
Зазначимо, що не всі інтеграли можна виразити через елементарні функції. Так, наприклад, інтеграли та існують, проте через елементарні функції не виражаються.
Loading...

 
 

Цікаве