WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціальні рівняння. Задача Коші - Реферат

Диференціальні рівняння. Задача Коші - Реферат

характеристичного рівняння загальний розв'язок диференціального рівняння має вигляд
Приклад. Розв'язати рівняння y +2y -15y=0.
Будуємо характеристичне рівняння 2+2 -15=0, звідки 1=3; 2=-5.
Отже, загальний розв'язок є такий:
Приклад. Розв'язати рівняння y +2y +y=0.
Будуємо характеристичне рівняння 2+2 +1=0, звідки 1= 2=-1.
Отже, загальний розв'язок:: .
8.3. Задача Коші. Застосування диференціальних рівнянь в економіці
Задачею Коші називається задача знаходження часткового розв'язку диференціального рівняння. Для рівнянь першого порядку задача полягає у знаходженні такої функції, яка
- задовольняє рівнянню F(x,y,y )=0;
- проходить через точку (x0;y0).
Приклад. Розв'язати задачу Коші
.
Знаходимо загальний розв'язок диференціального рівняння з розділеними змінними:
;
arctgy=lnx+lnC ;
y=tg(ln(Cx)) .
На основі початкової умови y(1)=0 визначаємо конкретне значення константи C:
0=tg(ln(C 1)) ;
C=1 .
Таким чином, розв'язком задачі Коші є функція y=tg(lnx).
Приклад. Розв'язати задачу Коші
.
Знаходимо загальний розв'язок:
(заміна y2=t ==> 2ydy=dt ==> ydy=dt/2);
lnx=(-1/2)ln(1+y2) + lnC;
;
;
x2 (1+y2)=C.
Визначаємо сталу C, виходячи з початкових умов:
12(1+22)=C, звідки C=5.
Розв'язок задачі Коші, отже, такий: x2(1+y2)=5.
Ріст при постійному темпі приросту.
Нехай в початковий момент часу t0=0 кількість населеня деякої країни становить P0. Нехай темп приросту кількості цього населенняє сталим (зазначимо, що приріст може бути як додатнім, так і від'ємним) і дорівнює величині T.
Нагадавши, що темп приросту функції y=y(t) обчислюється за формулою , приходимо до такої задачі Коші:
Розділяємо змінні і знаходимо загальний розв'язок:
;
lny=T t+lnC ;
y=C eT t .
Оскільки при t=0 величина y(0)=P0 , то P0=CeT 0 =C і далі
y(t)=P0 eT t (розв'язок задачі Коші).
Знайдена функція y(t)=P0 eT t дозволяє прогнозувати кількість населення в довільний момент часу. Наприклад, при річному темпі приросту T = -2% (темпі спаду в розмірі 2%) через t=25 (років) кількість населення становитиме P0 e-0,02 25 = P0 e-0,5 0,607P0.
Зазначимо, що ця ж функція y(t)=P0 eT t описує динаміку росту цін при постійному темпі інфляції.
Ріст при спадному темпі приросту.
Нехай деяка фірма починає випускати на продаж новий товар. Нехай на момент часу t0=0 на ринку вдалося продати y(t0)=y(0)=y0 одиниць товару. Позначимо через y(t) кількість проданого товару в довільний момент часу t і поставимо задачу визначення (прогнозування) цієї величини y(t).
В теорії маркетингу досліджено, що темп приросту Ty кількості проданого товару лінійно спадає в залежності від обсягу y продажу цього товару. Нехай темп приросту (спаду) Ty залежно від величини y є такою лінійною функцією: Ty = b-ay.
Отже, для для знаходження функції y=y(t) потрібно розв'язати задачу Коші:
.
Розв'язуємо дифренціальне рівняння
;
(дріб розкладено на суму
дробів та ) ;
;
;
;
(отримано загальний розв'язок) .
При конкретному значенні y(0)=y0 отримуємо конкретну криву (функцію) вигляду . Цю функцію (логістичну функцію, рис. 8.1) було розглянуто в темі 4. Вона описує динаміку кількості y проданого товару залежно від часу t. Відщукання конкретних параметрів , та - завдання дисципліни "Економетрія".
y
b/a
y0=Cb/(1+Ca)
x
Рис. 8.1.
Попит при постійній еластичності.
Нехай Q - розмір попиту на деякий товар залежно від його ціни p. Нехай Q(p0)=Q0 . Нехай еластичність попиту за ціною EQp=E є сталою на деякому інтервалі. Для побудови функції попиту Q=Q(p) зі сталою еластичністю розв'язуємо задачу Коші (оскільки еластичність EQp обчислюються за допомогою похідної: EQp=Q (p/Q) ):
;
;
;
Q=C pE .
З урахуванням початкових умов отримуємо явний вигляд функції попиту
.
Зокрема, при еластичності E = -1 (збільшення ціни на 1% приводить до зменшення попиту на 1%) попит залежно від ціни описує функція
, тобто обернена функція.
Корисність при постійній схильності до ризику.
Схильність особи до ризику (дисципліна "Економічний ризик") r(x) залежно від кількості багатства x обчислюють за формулою , де U(x) - функція корисності цієї особи. Побудуємо функцію корисності для особи зі сталою (незалежною від x ) схильністю до ризику r(x)=r (як звичайно, r<0).
Потрібно розв'язати диференціальне рівняння r(x)= за умов U(0)=0, U (0)=k.
Маємо задачу Коші
,
тобто лінійне однорідне рівняння другого порядку U -rU =0.
Будуємо характеристичне рівняння 2-r =0, коренями якого є числа 1 = 0 та 2 = r.
Отримуємо загальний розв'язок:
U(x)=C1e0 x+C2er x =C1+C2 er x .
Враховуючи першу початкову умову U(0)=0, маємо C1= -C2, отже
U(x)=C-C erx .
Друга початкова умова U (0)=k дає
- C r er 0 =k, звідки C=(-k)/r .
Отже, функція корисності клієнта має вигляд
Зокрема, при r = -0,2 та k=1
= 5-5e-0,2x .
U(x)
5
x
Рис. 8.2.
Отже, у разі сталої схильності до ризику r = -0,2 (незалежно від кількості багатства x) функція корисності клієнта має вигляд U(x)=5-5e-0,2x (рис. 8.2).
Loading...

 
 

Цікаве