WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Числові та степеневі ряди - Реферат

Числові та степеневі ряди - Реферат


Реферат на тему:
Числові та степеневі ряди
ПЛАН
1. Числові ряди.
2. Степеневі ряди.
1. Числові ряди
У деяких задачах розглядають суми, що складаються із нескінченної кількості доданків. Властивості таких нескінченних сум часто суттєво відрізняються від властивостей сум скінченної кількості доданків.
Наприклад, для суми S=1-1+1-1+1-1+… згідно з асоціативним законом маємо S=(1-1)+(1-1)+… та S=1-(1-1)-(1-1)-… . Отже, для нескінченних сум асоціативний (сполучний) закон додавання не виконується.
Означення. Нехай задано нескінчену послідовність {an}=a1,a2,…,an,… .
Тоді вираз a1+a2+…+an+…=
називають числовим рядом, а доданок an - загальним членом цього ряду.
Розглянемо часткові суми числового ряду:
S1=a1 ;
S2=a1+a2 ;
…………..
Sn=a1+a2+…+an ;
…………….
Означення. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових (частинних) сум має скінченну границю. Ця границя називається сумою ряду
(9.1)
Приклади.
1. Ряд є збіжним. Його сума дорівнює 1, оскільки згідно з формулою суми геометричної прогресії .
2. Ряд є розбіжним, оскільки можна довести, що для будь-якого числа A знайдеться такий номер N , що .
3. Нехай у деякій закритій економіці частка національного продукту, яку витрачають на споживання, становить b, а частка, яку вкладають в інвестування 1-b . Нехай початкові інвестиції дорівнюють I. Тоді згідно з теорією Кейнса споживання спричинить нові інвестиції у розмірі b I . На наступному етапі матимемо інвестиції в розмірі b2 I і так далі. В перспективі національний доход становитиме Y=I+bI+b2I+…= . Коефіцієнт називають мультиплікатором.
Властивості збіжних рядів
Теорема 1 (необхідна умова збіжності рядів). Якщо ряд збігається, то його загальний член прямує до нуля ( ).
Теорема 2. Якщо ряд збігається, то для будь-якого значення m 2 збігається ряд і навпаки.
Крім того, збіжні ряди можна почленно додавати та множити на число.
Достатні ознаки збіжності рядів
Теорема 3. Нехай задано два ряди з додатними членами (знакододатні, знакосталі ряди) та . Нехай для всіх значень індексу i виконується ai bi . Тоді із збіжності ряду випливає збіжність ряду .
Теорема 4 (ознака Д'Аламбера). Нехай для ряду з додатними членами існує границя .Тоді при l1 розбігається.
Приклад. Дослідити на збіжність ряд
Знаходимо границю
. Ряд збігається.
Теорема 5 (ознака Лейбніца). Нехай задано знакозмінний ряд (кожні два сусідні члени ряду мають інший знак). Тоді якщо , то ряд є збіжним.
Приклад. Ряд збігається, бо .
Для обчислення цього ряду, наприклад, з точністю до 0.01 потрібно, щоб , тобто , звідки . Отже, потрібно взяти 100 членів ряду.
Абсолютна збіжність рядів
Означення. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд , та умовно збіжним, якщо збігається ряд , а ряд розбігається.
Приклади.
1. Ряд є умовно збіжним, оскільки ряд розбігається.
2. Ряд є абсолютно збіжним.
2. Степеневі ряди
Означення. Степеневим рядом називається ряд вигляду
c0+c1x+c2x2+…+cnxn+…
Приклади.
1. Степеневий ряд 1+x+x2+…+xn+… Тут усі cn=1.
2. Степеневий ряд 1-2x+3x2-4x3+5x4-… Тут cn = (-1)n (n+1).
Очевидно, що за одних значень змінної x ряд може збігатися, а за інших - розбігатися. Тому ставлять задачу звідшукання радіуса збіжності степеневого ряду (тобто такого додатного числа R, що для всіх значень |x|Приклад.
1. Знайти область збіжності степеневого ряду
Згідно з ознакою Д'Аламбера .
Очевидно, що при -2Теорема (без доведення). Степеневий ряд в області його збіжності можна почленно диференціювати та інтегрувати.
Одним із найважливіших результатів математичного аналізу є розклад функцій у ряди.
Теорема. Нехай у деякому околі точки x0 функція f(x) є (n+1) разів диференційовною. Тоді в цьому околі функція f(x) розкладається в такий ряд
, (9.2)
де точка належить околу точки x0 .
Цю формулу називають формулою Тейлора. Очевидно, що коли (n+1)-а похідна f(n+1)(x) обмежена, то залишковий член ряду прямує до нуля при x x0. Отже,
.
При x0=0 формула Тейлора перетворюється у формулу Маклорена
(9.3)
Легко бачити, що формула Маклорена є степеневим рядом. Таким чином елементарні (шкільні) функції, всі які є багато разів диференційовними, можна розкладасти в степеневі ряди.
Приклади.
1. Розкласти в степеневий ряд функцію f(x)=ex.
Маємо f(x)=f (x) =f (x) =…=f(n)(x) =…=ex . Далі f(0)=f (0)=f (0)=…
…=f(n)(0) =…=e0=1. Отже,
2.
Згідно з ознакою Лейбніца ( ) ряд збігається при будь-якому значенні x.
2. Оскільки (sinx) =cosx, (sinx) =-sinx, (sinx) =-cosx, (sinx)IV=sinx, то
…=
4. Оскільки
і далі ln 1 = 1, ln 1 = -1!, ln 1 = 2!,
то
Радіус збіжності визначаємо відповідно до ознаки Д'Аламбера:
, звідки умова |x|<1. Отже, R=1.
Формула Тейлора справджується і для функцій від багатьох змінних. Зокрема, для функції від двох змінних f(x,y) в околі точки (0;0):
(9.4)
Loading...

 
 

Цікаве