WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Елементарна теорія похибок - Реферат

Елементарна теорія похибок - Реферат


Реферат на тему:
Елементарна теорія похибок
Означення. Нехай A точне значення деякого числа, тоді як a наближене. Тоді різниця a = |A-a| називається абсолютною похибкою числа A .
Означення. Частка a= називається відносною похибкою числа A.
Приклад. Нехай A=10; a=9,5; B=50; b=50,5.
Тоді a = |10-9,5| = 0,5; a = 0,5/10 =0,05 = 5%.
b = |50-50,5| = 0,5; b = 0,5/50 = 0,01 = 1%.
Зазначимо, що на практиці більшість статистичних даних є відомими лише з деякою похибкою.
Означення. Кажуть, що число a має n вірних знаків (розрядів, цифр), якщо його абсолютна похибка не перевищує половини n-го розряду.
Приклад. Числа 10±0,5 та 50±0,5 мають два вірні знаки. Число 123,2±0,05 має чотири вірні знаки.
У математиці (а також в її застосуваннях) прийнято записувати для кожного числа всі його вірні знаки і лише ці вірні знаки. Наприклад, за записом x1=112,40 визначаємо, що це число має п'ять вірних знаків ( =0,005 ), тоді як за записом числа x2=112,4 визначаємо той факт, що це число має чотири вірні знаки ( =0,05). У числі y1=1200 вірними є чотири знаки ( =0,5), а в числі y2=0,120 104 маємо тільки три ( =5).
Теорема 1. У разі додавання (віднімання) наближених чисел їхні абсолютні похибки додають:
a+b a + b .
Теорема 2. У разі множення (ділення) наближених чисел їхні відносні похибки додають:
a b a + b .
Для додавання багатьох близьких чисел (a1~a2~…~an~a)використовують формулу
Приклад. Нехай a=12±0,3 ; b=10±0,2.
Виконавши додавання, одержимо a+b=22±0,5 ,
звідки a+b = 0,5.
У результаті множення отримуємо a b=(12±0,3) (10±0,2) 120±5,4 ,
звідки .
Абслютну похибку y функції від багатьох змінних y = y(x1,…,xn), як зазначено в темі 6, обчислюють за формулою
.
Типовою помилкою економіста є наведення у відповіді великої кількості знаків після коми (оскільки комп'ютер виконує обчислення з багатьма розрядами). Проте точність результату не може бути вищою, ніж точність вхідних даних!
Зазначимо, що у разі віднімання відносна похибка може значно зростати.
Приклад. Нехай a=121±0,5
b=119±0,5
Відносні похибки аргументів становлять
та .
Знаходимо відносну похибку результату віднімання наближених чисел:
Як бачимо, внаслідок виконання лише однієї дії відносна похибка зросла більше, ніж у 100 разів.
Отже у разі виконання значної кількості обчислень завжди є небезпека втрати вірних знаків. Автоматизація розрахунків за допомогою комп'ютера в цьому аспекті допомогти аж ніяк не може. Користувач сам повинен планувати процес обчислень так, щоб уникати віднімання близьких чисел.
Loading...

 
 

Цікаве