WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінійна алгебра. Матриці та вектори - Реферат

Лінійна алгебра. Матриці та вектори - Реферат


Реферат на тему:
Лінійна алгебра. Матриці та вектори.
Означення. Матрицею розміром n?m називається прямокутна таблиця чисел
Означення. Матриці A=(aij) та B=(bij) називаються рівними (однаковими), якщо вони мають однакову кількість рядків та стовпців і всі їхні елементи, розташовані на однакових місцях, є рівними (тобто aij=bij для всіх значень i та j).
Означення. Сумою двох матриць A=(aij) та B=(bij) з однаковою кількістю рядків та стовпців називається матриця C=A+B, де
cij=aij+bij (i=1,…,m; j=1,…,n). (1.1)
Означення. Добутком матриці A=(aij) на число k називається матриця B=k A вигляду B=k A=(k aij).
Матриця називається квадратною, якщо кількість її рядків співпадає із кількістю стовпців (n=m).
Означення. Квадратна матриця E=(eij) називається одиничною, якщо
,
тобто ця матриця має вигляд
.
Означення. Матриця O називається нульовою, якщо всі її елементи є нулями: .
Означення. Добутком матриці на матрицю називається матриця , елементи якої обчислюються за формулою
(1.2)
Приклади.
1. Нехай та .
Тоді , , .
2. Нехай, крім того,
та .
Тоді ,
D C - не має сенсу,
Зазначимо, що в останньому прикладі А В В А .
Виконуються такі властивості додавання та множення матриць:
Е А = А Е = А (властивість множення на одиничну матрицю);
О А = А О = О (властивість множення на нульову матрицю);
k O = O k = O A+O = O+A =A;
( A) = ( )A; (A ) = A( );
A+B = B+A (комутативна властивість додавання);
A+(B+C)=(A+B)+C (асоціативна властивість додавання);
( + )A = A+ A;
(AB) =( A)B;
(A+B)C = AC+BC ; C(A+B) = CA+CB.
Означення. Матрицею AT, транспонованою до матриці , називається матриця .
Виконуються такі властивості:
(AB)T = BTAT;
( A+ B)T = AT+ BT;
(AT)T = A.
Частковим випадком матриці є вектор (упорядкована послідовність чисел). Розрізняють вектор-рядок (матрицю-рядок) та вектор- стовпець (матрицю-стовпець) .
Добуток матриці на вектор обчислюється за загальним означенням множення матриць:
,
.
Приклад. Для виготовлення виробів W1 та W2 потрібні вузли v1 та v2. Для виготовлення цих вузлів, в свою чергу, відповідно, потрібні деталі d1, d2 та d3 у кількостях, що наведені у таблицях:
Вироби Кількість вузлів Вузли Кількість деталей
v1 v2 d1 d2 d3
W1 2 3 v1 2 1 0
W2 1 4 v2 1 0 3
Обчислити кількість деталей, що потрібні для виготовлення кожного із виробів W1 та W2.
На основі аналізу цих таблиць бачимо, що шукана кількість деталей облислюється як добуток матриць
.
Отриманий результат такий:
Вироби Кількість деталей
d1 d2 d3
W1 7 2 9
W2 6 1 12
Зокрема, для виготовлення виробу W2 потрібно 12 деталей d3.
Приклад. Нарахувати заробітну плату, яку потрібно виплатити на кожне замовлення, якщо вхідна інформація задана у таблицях:
Таблиця A
Виріб Затрати робочого часу на робочих місцях, год.
1 2 3 4
W1 0,8 2,1 1,2 3,0
W2 1,3 0,5 2,8 0,2
W3 1,1 1,0 2,5 1,8
Таблиця B
Замовлення Кількість виробів
W1 W2 W3
Z1 5 7 3
Z2 4 0 2
Z3 6 2 1
Таблиця C
Робоче місце Погодинна заробітна плата, грн.
1 1,30
2 1,25
3 1,40
4 1.45
Помножившиматрицю B на матрицю A, отримуємо затрати часу на робочих місцях щодо кожного замовлення:
Замовлення Затрати робочого часу на робочих місцях, год.
1 2 3 4
Z1 16,4 17 33,1 21,8
Z2 5,4 10,4 9,8 15,6
Z3 8,5 14,6 15,3 20,2
Справді, .
Перемноживши отриману матрицю на вектор (матрицю-стовпець) C, обчислимо витрати на зарплату щодо кожного із замовлень:
Замовлення Витрати на зарплату
Z1 120,52
Z2 56,36
Z3 80,01
Отже, витрати на зарплату обчислюються як добуток матриць:
.
Приклад. Входження деталей та комплектуючих у деякий виріб показане на рисунку 1.1 :
Виріб
4 3 10 15
Комплектуюча Комплектуюча Деталь Деталь
K1 K2 D1 D2
2 3 4 5
D1 D2 D1 D2
Рис. 1.1.
Визначити загальне входження кожної з деталей D1 та D2 у виробі.
Побудуємо відповідні матриці.
Матриця входжень деталей у комплектуючих: . Тут рядки відповідають деталям, а стовпці комплектуючим.
Безпосереднє входження деталей у виробі - це вектор , а входження комплектуючих у виробі - вектор .
Тоді загальну кількість деталей D1 та D2 у виробі обчислюють за формулою
.
Отже, для виготовлення одного виробу потрібно 30 деталей D1 та 42 деталі D2 .
Означення. Нехай A=(aij)i=1,…,n;j=1,…,n квадратна матриця. Оберненою до неї матрицею A-1 називається матриця, для якої має місце
A A-1=A-1 A=E .
Якщо обернена до A матриця існує, то (A-1)-1=A.
Приклад.
Нехай . Тоді .
Справді,
,
.
За допомогою оберненої матриці можна розв'язувати системи лінійних рівнянь, оскільки запис
є рівнозначний до запису
, де
Розв'язок системи знаходиться при допомозі множення зліва обидвох частин на обернену матрицю A-1 :
,
, (1.3)
.
Відшукання оберненої матриці досить складна математична задача. Проте дії над матрицями реалізовані у багатьох комп'ютерних системах. Зокрема, в системі EXCEL обчислення оберненої матриці реалізується за допомогою так званої функції масиву MINVERSE, а множення матриць -за допомогою функції масиву MMULT (зазначимо, що функція масиву, на відміну від звичайної функції, вводиться одночасним натисканням трьох клавіш - Shift, Ctrl та Enter).
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Барковський В., Барковська Н. Математика для економіста. - К., 1997. Т.1 3.
2. Бугір М. Математика для економістів. - Тернопіль, 1998.
3. Михайленко В., Федоренко Н. Математичний аналіз для економістів. - К., 1999.
4. Нікбахт Е., Гроппелі А. Фінанси. К., 1993.
5. Nicholson R.N. Mathematics for Business and Economics. 1986.
6. Завада О. Методичні вказівки до виконання контрольних робіт
з курсу "Математика для економіста". - Львів, 2000.
Loading...

 
 

Цікаве