WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Правило Лопіталя. Теореми Коші і Лагранжа - Реферат

Правило Лопіталя. Теореми Коші і Лагранжа - Реферат


Реферат з вищої математики
на тему:
Правило Лопіталя.
Теореми Коші і Лагранжа
1. Правило Лопіталя
У попередній главі ми ознайомилися з деякими способами розкриття невизначеностей. Розглянемо ще один спосіб, який ґрунтується на застосуванні похідних.
Теорема 1. Нехай функції визначені і диференційовні в околі точки х0, за винятком, можливо, самої точки х0, причому
Вважатимемо, що х0 - скінчене число: . Довизначемо функції в точці х=х0, поклавши Тоді ці функції будуть неперервні в точці х0. розглянемо відрізок [x0;x], що належить даному околу. Функції і неперервні на [x0;x], диференційовні на (х0, х) і .
Тому за теоремою Коші знайдеться точка , для якої
або
тому, що . Оскільки за умовою існує , якщо , то з рівності маємо:
Зауваження 1. Теорема справедлива і в тому випадку, коли . Дійсно, поклавши , маємо
Зауваження 2. Якщо похідні задовольняють ті самі умови, що і функції і то теорему і можна застосувати ще раз. При цьому дістанемо
Взагалі, теорему 1 можна застосувати доти, поки не прийдемо до відношення похідних , яке має певну границю при . Цю саму границю матиме й відношення функцій:
Теорема 1 дає змогу розкривати невизначеність виду Сформулюємо теорему, яка стосується розкриття невизначеності виду .
Теорема 2. Нехай функції і визначені і диференційовні в околі точки х0 і в цьому околі
Тоді якщо існує границя то існує границя і
Цю теорему приймемо без доведення.
Виражене теоремами 1 і 2 правило обчислення границь називають правилом Лопіталя за іменем математика, який опублікував його. Але це правило відкрив І. Бернуллі, тому правило Лопіталя називають ще правилом Бернуллі - Лопіталя.
Зауважимо, що правило Лопіталя застосовується лише для розкриття невизначеності виду і , які називають основними. Відомі ще й такі невизначеності, як покажемо, як ці невизначеності зводяться до основних.
а). Якщо то невизначеність виду 0· можна звести до основних так:
або
б). Якщо то невизначеність виду зводиться до невизначеності :
в). Якщо , то
і невизначеність виду 00 зводиться до невизначеності 0· , розглянутої вище. Аналогічно розкриваються невизначеності і .
Таким чином, щоб розкрити невизначеності , їх треба спочатку звести до основних і лише після цього застосувати правило Лапіталя.
Приклад.
Обчислити границі:
а). ; б). ;
в). г).
д). е).
є). ж). ,
а). Тут невизначеність виду , тому за правилом Лопіталя маємо
б). Маємо невизначеність виду тому
в). Тут невизначеність виду Зведемо її до невизначеності після чого застосовуємо правило Лопіталя:
г). Маємо невизначеність виду . Зведемо її до невизначеності після чого застосуємо правило Лопіталя:
д). Тут невизначеність виду . Маємо
Знайдемо границю в показнику. Для цього зведемо дану невизначеність до виду , потім скористаємось правилом Лопіталя:
тому
е). Маємо невизначеність виду , тоді
є). Тут невизначеність виду 00, тоді
ж). Для розкриття цієї невизначеності правило Лопіталя потрібно застосувати п разів:
2. Теореми Коші і Лагранжа
Теорема Коші. Якщо функція і неперервні на відрізку [a;b], диференційовні в інтегралі (a;b), причому то існує така точка , що
Введемо допоміжну функцію
яку можна розглядати на відрізку [a;b], то . У противному разі за теоремою Ролля знайшлася б точка в якій що неможливо, бо за умовою
Неважко пересвідчитись, що функція F(x) задовольняє всі умови теореми Ролля. Тому знайдеться точка , в якій F'(c)=0 або
звідки й випливає формула.
Теорема Лагранжа. Якщо функція f(x), неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (a;b), то всередині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка , в якій
Цю теорему можна розглядати як окремий випадок теореми Коші. Справді, поклавши у формулі дістанемо формулу.
Розглянемо геометричний зміст теореми Лагранжа. Запишемо формулу у вигляді
тоді
Тобто якщо функція задовольняє умові теореми Лагранжа, та на графіку цієї функції знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка паралельна хорді, що сполучає кінці кривої А (a;f(a)) i B(b;f(b)). Таких точок може бути і кілька, але хоча б одна завжди існує.
Формулу називають формулою Лагранжа, або формулою скінчених приростів, оскільки вона виражає точне значення приросту функції через похідну в деякій точці с інтервалу (a;b) і скінчене значення приросту аргументу . У теоремі Лагранжа вказується лише на існування точки с, для якої справедлива формула, але використання цієї теореми у математичному аналізі надзвичайно широке.
Теорема Лагранжа має також і механічну інтерпретацію. Якщо S=S(t), t1.
Іншими словами, серед усіх можливих швидкостей S'(t), неодмінно знайдеться така швидкість S'(c), що коли її підтримувати сталою, то за той самий проміжок часу [t1;t2] точка пройде той самий шлях S(t2)-S(t1) , що і при русі із зміною швидкістю S'(t):
Якщо при цьому русі в деякий момент часу ? доводиться повертати назад, то для цього швидкість потрібно повністю погасити: . Зрозуміло, що ці інтерпретації вірні лише тоді, коли закон руху S(t) задовольняє умови, які відповідають умовам теорем Ролля і Лагранжа.
Приклади.
1. Довести, що рівняння має лише один дійсний корінь.
Введемо функцію . Оскільки , а , то дане рівняння має дійсний корінь . Припустимо, що існує принаймні ще один корінь х2, тоді , причому для визначеності вважатимемо, що x1Знайдена суперечність показує, що припущення про існування ще одного кореня було хибним.
2. Чи виконується теорема Ролля для функції на відрізку [1;5]? При якому значенні с?
Оскільки дана функція неперервна і деференційовна при всіх значеннях і її значення на кінцях відрізка [1;5] рівні між собою то теорема Ролля на цьому відрізку справджується.
Значення с знаходимо з рівняння f'(x)=2x-6=0, звідки с=3.
3. Крива у=х2-4х сполучає точки А(1;-3) і В(4;0). На дузі АВ знайти точку М0(х0; у0), в якій дотична паралельна хорді АВ.
Функція f(x)=x2-4x неперервна і диференційована на відрізку [1;4]. Тому за теоремою Лагранжа існує точка для якої
де f'(x)=2x-4. Підставивши відповідні значення, дістанемо
Отже точка М0 має координати
4. Для того щоб диференційована на відрізку [a;b] функція f(x) була сталою, необхідно і достатньо, щоб Довести.
Необхідність була доведена в п.2.2
Достатність. Нехай і точка x1але тому Отже, або .
Оскільки х1 і х2 - довільні точки відрізка [a;b], то
5. Довести, що
Введемо функцію тоді
тому з попередньої задачі випливає, що
arcsinx+arccosx=c.
Поклавши в цій рівності х=0, знайдемо, що і .
Безпосередньо переконуємось, що ця рівність виконується і при
6. Оцінити точність наближеної рівності
Нехай функція f(x) має похідні f'(x), f"(x), . Візьмемо на інтервалі (a;b) дві точки: х і тоді за теоремою Лагранжа:
де с1 лежить між х і
Диференціал даної функції для значень х і дорівнює
Тому
Застосуємо тепер формулу Лагранжа до різниці перших похідних:
Де с2 лежить між с1 і х. Нехай . Оскільки а , то дістанемо оцінку
Loading...

 
 

Цікаве