WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Аналітичне (символьне) представлення неперервних перетворень r1, що зберігають фрактальну розмірність Хаусдорфа-Безиковича - Реферат

Аналітичне (символьне) представлення неперервних перетворень r1, що зберігають фрактальну розмірність Хаусдорфа-Безиковича - Реферат


РЕФЕРАТ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
НА ТЕМУ:
АНАЛІТИЧНЕ (СИМВОЛЬНЕ) ПРЕДСТАВЛЕННЯ
НЕПЕРЕРВНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ R1,
ЩО ЗБЕРІГАЮТЬ ФРАКТАЛЬНУ РОЗМІРНІСТЬ
ХАУСДОРФА-БЕЗИКОВИЧА
Під аналітичним заданням (представленням) перетворення ми розуміємо формули, що встановлюють зв'язок між координатами довільної точки M простору Rn і її образу M' в одній і тій же системі координат.
Фрактальним перетворенням будемо називати неперервне перетворення f, яке зберігає розмірність Хаусдорфа-Безиковича, тобто для довільної обмеженої множини E і її прообразу f-1(E) має місце рівність , де -- розмірність Хаусдорфа-Безиковича множини A.
Як відомо, група Hf перетворень, що зберігають фрактальну розмірність, містить групу афінних перетворень, яка, в свою чергу, містить підгрупу перетворень подібності, але далеко цими перетвореннями не вичерпується [1-3].
Як свідчать ''тонкі'' приклади фрактальних перетворень відрізка [0;1], наведені в [1], надії на те, що адекватна для них система координат може відносно просто визначатись, немає. Вона має ''враховувати'' складну локальну будову фрактальних множин (фракталів).
Обмежимось поки що розглядом неперервних перетворень відрізка [0;1]. Як відомо, до таких відносяться лише строго монотонні функції f(x), такі, що f(x)=F(x) або f(x)=1- F(x), де F(x) -- неперервна функція розподілу ймовірності на [0;1].
Локально тонкі системи координат на [0;1]
Позначатимемо через
,
відрізок числової прямої, а через -- інтервал з тими ж самими кінцями, вважаючи, що завжди
.
Нехай задана система Ф подрібнюючих розбиттів [0;1]:
, ,
, , ,
, , , і
( ).
Вона визначає систему координат на [0;1], тобто сукупність умов для визначення положення точки.
Справді, множина
,
згідно з аксіомою Кантора, містить одну точку x, яку природно позначити . З іншого боку, для кожної точки відрізка [0;1] існує нескінченна послідовність вкладених відрізків
які містять цю точку. Те, що x= ми символічно будемо зображати
Таку систему подрібнюючих розбиттів Ф називатимемо локальнотонкою системою координат на [0;1], скорочено: ЛТСК.
Координатами точки x в ЛТСК Ф називатимемо впорядкований набір ( ) такий, що
При цьому називається k-тою Ф-координатою або Ф-двійковим кодом x.
Відрізок містить ті і тільки ті точки, що мають перші m Ф-координат відповідно рівні c1, c2, ..., cm. Його ще називатимемо циліндричною множиною (циліндром) m-го рангу з основою c1c2...cm.
Легко бачити, що для деяких точок (їх зчисленна множина) координати визначаються неоднозначно, оскільки
Теорема 1. Якщо Ф1 i Ф2 -- дві ЛТ системи координат на [0;1], то існує єдине неперервне перетворення f, яке переводить Ф1 в Ф2. При цьому точка x, яка має координати ( ) в системі Ф1 переходить в точку x', яка в системі Ф2 має такі ж самі координати, тобто
Теорема 2. Образом локально тонкої системи координат при неперервному перетворенні f відрізка [0;1] є локально тонка система координат.
Теорема 3. Якщо Ф1 -- фрактальна система координат на відрізку [0;1], а f -- фрактальне перетворення [0;1], то f подається у вигляді
,
де Ф2 -- образ Ф1 при перетворенні f. При цьому
для всіх x [0;1] за виключенням, можливо, аномально фрактальної множини точок x [0;1].
Теорема 4. Якщо Ф1 i Ф2 -- дві ЛТСК, то функція
де ( ) -- координати точки x в ЛТСК Ф1 i
:
зберігає фрактальну розмірність Хаусдорфа-Безиковича.
Література
1. Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G., Fractal probability distributions and transformations preserving the Hausdorff-Besicovitch dimension. -- Preprint SFB-256, Bonn, 2001 (No. 751). -- 35p.
2. S. Albeverio, M. Pratsiovytyi, G. Torbin, Fractal probability distributions and transformations preserving the Hausdorff-Besicovitch dimension // Ergodic Theory and Dynamical Systems. -- 2004, 24, No. 1. -- P. 1-16.
3. Працьовитий М.В., Торбін Г.М. Фрактальна геометрія та перетворення, що зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича // Динамічні системи: Праці Українського математичного конгресу - 2001. -- Київ: Ін-т математики НАН України, 2003. -- C.77-93.
Loading...

 
 

Цікаве