WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Площина - Реферат

Площина - Реферат

вони компланарні.
Рис.2 Рис.3
Отже, мішаний добуток їх дорівнює нулю:
(14)
Запишемо цей добуток через координати векторів, які перемножаються. Маємо:
(15)
Якщо радіуси-вектори точок М, М1, М2 і М3 відповідно позначити через то вектори можна зобразити у вигляді
Тоді рівняння (14) можна записати таким чином:
(16)
Рівняння (15) називається рівнянням площини, що проходить через три дані точки, у координатній формі, а рівняння (16) - у векторній формі.
Рівняння площини, що проходить
через дану точку паралельно двом даним векторам.
Нехай задано точку M0 (х0, у0, z0) і два неколінеарних (не паралельних) вектори а і е. Ці умови геометрично однозначно визначають площину, що проходить через задану точку паралельно заданим векторам. Знайдемо рівняння площини.
Рівняння площини, що проходить через точку M0, грунтуючись на (1), запишемо у вигляді
А(х - х0) + В(у - у0) + С(z - z0) =0, (17)
де = (А, В, С) - вектор, перпендикулярний до даної площини, або нормальний вектор площини (рис. 4).
За умовою площина паралельна векторам . Отже, нормальний вектор площини можна виразити через векторний добуток даних векторів .
Якщо позначити радіуси-вектори точок M i M0 відповідно через , то рівняння (17) можна записати у вигляді ,звідки ,але Отже, вектори лежать в одній площині, тобто
(18)
Вираз (18) є векторною формою рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно двом даним векторам.
Рівняння заданої площини у координатній формі має вигляд :
(19)
?
Рівняння площини, що проходитьчерез
дві дані точки паралельно даному вектору.
Нехай дано дві точки М1(х1, у1, z1), М2 (х2, y2, z2) і вектор . Знайдемо рівняння площини, що проходить через дані точки паралельно вектору . Нехай M (х, у, z) - довільна точка простору. Позначимо радіуси-вектори точок М, М1, М2 відповідно через .
За другий вектор, через який проходить задана площина, візьмемо
вектор Тоді рівняння даної площини, згідно з рівнянням (18), можна записати у вигляді:
, (20)
або, враховуючи, що , дістаємо
. (21)
?
Кут між двома площинами.
Умова паралельності та перпендикулярності.
Нехай дві площини задані своїми рівняннями
(22)
Рис.5
Кутом між двома площинами називають один із суміжних двогранних кутів або , утворених цими площинами (рис.5). Якщо площини не перетинаються, тобто паралельні, то кут між ними дорівнює 0 або .
Нехай кут між даними площинами . Тоді кут між нормальними векторами цих площин також дорівнюватиме або - . Кут знайдемо за формулою:
(23)
Поклавши в цій формулі , дістанемо умову перпендикулярності площин:
(24)
Якщо площини (22) паралельні, то і їхні нормальні вектори і також паралельні (колінеарні). Із умови паралельності векторів маємо
або
.
Звідси дістаємо умову паралельності площин:
. (25)
Таким чином, у паралельних, площин коефіцієнти при відповідних координатах пропорційні.
?
Відстань від точки до площини
Нехай площина задана нормальним рівнянням і дано точку
M0 (х0, у0. z0), що лежить поза площиною. Відстань від точки M0 до площини позначимо через а. Відхилом точки M0 від даної площини називається число якщо точка M0 і початок координат лежать по різні боки від даної площини, і число , якщо точка M0 і початок координат лежать по один бік від площини (рис. 6).
Рис.6
Із точки M0 на дану площину опустимо перпендикуляр М0 М1, де М1 (х1, у1, z1). Позначимо .
Розглянемо вектори
За правилом додавання векторів:
.
Враховуючи означення відхилу, вектор можна записати у вигляді
де - одиничний вектор променя .
Тоді дістанемо .
Помножимо обидві частини цього рівняння скалярне на :
.
Оскільки скалярний добуток , а
то
,
або
(26)
Відхил точки від площини, яку задано нормальним рівнянням, дорівнює значенню лівої частини цього рівняння у цій точці.
Відстань точки від площини дорівнює модулю відхилу цієї точки від даної площини:
(27)
Якщо площину задано загальним рівнянням
Ах+Ву+Сz+D=0,
то щоб знайти відхил точки M0 (x0,y0,z0) від даної площини, треба спочатку звести рівняння до нормального вигляду, а потім знайти значення його лівої частини у точці M0:
(28)
Тоді відстань від точки M0 до площини
Контрольні запитання.
1. Довести, що рівняння площини завжди виражається рівнянням першого степеня і, навпаки, всяке рівняння першого степеня є рівнянням площини.
2. Який вигляд має загальне рівняння площини? Який зв'язок існує між нормальним вектором до площини та коефіцієнтами загального рівняння площини?
3. Дослідіть загальне рівняння площини.
4. Запишіть рівняння площини у відрізках на координатних осях.
5. Як визначається гострий кут між двома площинами, що перетинаються?
6. Запишіть умови паралельності та перпендикулярності площин.
7. Запишіть рівняння площини, що проходить через три задані точки.
Loading...

 
 

Цікаве