WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Площина - Реферат

Площина - Реферат


Реферат з математики на тему:
Площина
Загальне рівняння площини та його дослідження
Покажемо, що алгебраїчною поверхнею першого порядку є площина. Для цього доведемо такі теореми.
Теорема 1. Площина в прямокутній декартовій системі координат визначається загальним рівнянням першого степеня відносно поточних координат.
Доведення. Геометрично будь-яку площину в просторі хуz можна задати за допомогою вектора , перпендикулярного до цієї площини, і точки M0 (x0, y0, z0), Через яку проходить дана площина (рис.1).
Візьмемо довільну точку M (х, у, z) і знайдемо вектор . Точка M належить заданій площині тоді і тільки тоді, коли Тоді:
Оскільки то скалярний добуток можна записати у вигляді
А(х - х0) + В(у - у0) + C(z - z0) = 0,
або
Ах + By + Cz - (Aх0 + Ву0 + Cz0) = 0. (1)
Позначивши
- (AX0 + Ву0 + Cz0) = D
дістанемо загальне алгебраїчне рівняння першого степеня:
Ах + By + Cz + D = О, (2)
Отже, будь-яка площина в декартових прямокутних координатах може бути зображена рівнянням першого степеня.
Зауважимо, що рівняння (1) є рівнянням площини, яка проходить
через точку M0 (х0, у0, z0) перпендикулярно до вектора = (А, В, С). Доведемо тепер обернену теорему.
Теорема 2. Загальне рівняння першого степеня
Ax + By + Cz + D = 0, (3)
де А, В, С і D - довільні дійсні числа; х, у, z - поточні координата, визначає в декартовій прямокутній системі координат площину.
Доведення. Доберемо трійку чисел (х0, y0, z0), які задовольняють рівняння (3). Це можна зробити таким чином. Два числа х0 і у0 візьмемо довільно, а третє z0 знайдемо з рівняння (3). Тоді
Ах0 + Ву0 + Cz0 + D = 0. (4)
Віднімаючи від рівняння (3) рівняння (4), дістаємо
А(х - х0) + В(у - у0) + C(z - z0) = 0. (5)
Це рівняння є рівнянням площини, перпендикулярної до вектора = (А, В, С) і такої, що проходить через точку M0 (х0, у0, z0).
Таким чином, кожна площина є поверхнею першого порядку, і, навпаки, кожна поверхня першого порядку є площиною. Тому рівняння (l) або (3) називається загальним рівнянням площини.
Рівняння
(6)
називається векторним рівнянням площини. Враховуючи, що векторне рівняння площини запишемо у вигляді:
, або
Якщо у загальному рівнянні площини покласти z - z0 = 0, то дістанемо рівняння
А(х - х0) + В(у - у0) = 0,
або Ах + By + С = 0, (7)
де С = - (Ax0 + Ву0). Рівняння ( 7) називається загальним рівнянням прямої, що лежить у площині хОу.
Дослідження загального рівняння площини
Розглянемо загальне рівняння площини .
Ах + Вy + Cz + D = 0. (8)
де А, В, С і D - довільні числа, причому хоча б одне з перших трьох відмінне від нуля.
Дослідимо окремі випадки цього рівняння:
Якщо D = 0, то рівняння (8) набирає вигляду
Ах + By + Cz = 0. (9)
Це рівняння задовольняє точка О (0, 0, 0). Отже, рівняння (9) визначає площину, яка проходить через початок координат.
Якщо А = 0, то рівняння (8) має вигляд
By + Cz + D = 0 (10)
і визначає площину, нормальний вектор якої = (О, В, С) перпендикулярний до осі Ох. Отже, рівняння (10) визначає площину, паралельну осі абсцис, або перпендикулярну до площини yOz.
Якщо А = В = 0, а С 0, то маємо рівняння площини, паралельної хОу:
Рівняння х = 0, у = 0, z = 0 визначають відповідно координатні площини yOz, xOz, хОу.
?
Різні види рівнянь площини.
Рівняння площини у відрізках на координатних осях.
Розглянемо загальне рівняння площини
Ах + Ву+ Cz + D = 0, (11)
коли всі його коефіцієнти і вільний член відмінні від нуля. Поділимо обидві частини рівняння (11) на D 0 і запишемо його у вигляді
(12)
Позначимо Тоді
(13)
Рівняння площини у вигляді (13) називається рівнянням у відрізках.
Знайдемо точки перетину площини (13) з координатними осями:
на осі абсцис у = z = 0, тоді х = а,
на осі ординат х = z =0, тоді у = b,
на осі аплікат х = у = 0, тоді z = с.
Таким чином, площина, задана рівнянням у відрізках, відтинає на координатних осях відповідно відрізки a, b і с.
Якщо потрібно побудувати площину, задану рівнянням, то зручно це рівняння записати у відрізках на осях. Тоді по точках M1 (a, 0, 0), М2 (0, b, 0) і М3 (0, 0, c) легко побудувати площину (рис.2).
?
Рівняння площини, що проходить через три дані точки
Нехай дано три точки М1 (х1 у1, z1), М2 (х2, у2, z2), M3(x3,y3,z3), що не лежать на одній прямій. Ці точки однозначно визначають площину, яка проходить через них. Знайдемо рівняння цієї площини.
Візьмемо довільну точку простору M (х, у, z) (рис.3) і побудуємо вектори:
Точка M (х, у, z) належить шуканій площині тоді і тільки тоді, коли вектори лежать у цій площині, тобто коли
Loading...

 
 

Цікаве