WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Порівняння функцій та їх застосування - Курсова робота

Порівняння функцій та їх застосування - Курсова робота

.
Оскільки існує такий проколений окіл точки ,що для всіх маємо , а отже, і Для покладемо тоді і . Тому, згідно леми 3
Наприклад візьмемо функцію і . Маємо (див. (1.1)), тому згідно доведеному, функції і одного порядку при .
Означення 3. Функціїи і називаються эквівалентними при , якщо в деякому проколеному околі точки визначена така функція , що
(1.20)
і
(1.21)
Відзначимо, що через властивість (1.21) знайдеться проколений окіл точки , у якій . Вважаючи бачимо, що умови (1.20) і (1.21) для вказаного проколеного околу рівносильні умовам
тобто як говорять, еквівалентність двохфункцій має властивість симетричності.
Функції і , еквівалентні при , називаються також асимптотично рівними при Асимптотична рівність (еквівалентність) функцій позначається символом ~:
(1.22)
З сказаного вище слідує, що якщо при , то і при
Приклади. 1. при , Дійсно, припустивши , отримаємо:
і
2. ~ при . Дійсно, якщо , то
і
Якщо в деякому проколеному околі точки справедливі нерівності то умови (1.20) і (1.21) еквівалентні співвідношенню
а, отже, й умові
Щоб в цьому переконатися, достатньо покласти тоді, очевидно, для функції виконуються умови (1.20) і (1.21).
Якщо
f~g і g~f при (1.23)
то
f~h при (1.24)
Дійсно, з умов (1.23) виходить, що в деякому проколеному околі точки
де і, отже
,
де , тобто виконується асимптотична рівність (1.24).
З результатів пункту 1.1 слідує, що при справедлива наступна еквівалентність нескінченно малих:
З цієї еквівалентності випливають і більш загальні співвідношення, які сформулюємо у вигляді окремої леми.
Лема 4. Якщо функція така, що
(1.25)
то при ,
(1.26)
Доведення. Покажемо, наприклад, що
(1.27)
Нехай функція визначена в деякому проколеному околі точки Покладемо (вважаючи що належить цоьму околі)
(1.28)
Покажемо, що
(1.29)
Нехай задано Оскільки
(тут u - незалежна змінна), існує таке число що при виконується нерівність
Для вказаного в силу (1.25) знайдеться таке число , що для всіх , задовольняючих умову , виконується нерівністьо Отже, якщо і , то
Інакше кажучи, якщо і , то
(1.30)
Якщо ж і , то згідно (1.28) маємо і, отже, нерівність (1.30) очевидно також виконується.
Рівність (1.29) доведена, а оскільки з (1.28) випливає, що для всіх , то доведена справедливість асимптотичної рівності (1.27). Аналогічно доводиться і решта асимптотичні формули (1.26).
Означення 4. Якщо в деякому проколеному околі точки де , то функція називається нескінченно малою в порівнянні з функцією при , пишеться , (читається: є о мале від при , прямучому до ).
Через це означення запис означає просто, що функція є нескінченно малою при ,
Якщо при , та умову
можна переписати у вигляді
Таким чином, під при розуміється будь-яка функція така, що
У випадку, коли нескінченно мала при то говорять, що при є нескінченно мала більш високого порядку, ніж
Наприклад, при , або
Так само і при
Відзначимо, що якщо то і при Дійсно, нехай , де . Тоді функція обмежена в деякому проколеному околі точки точки і, значить, в вказаному проколеному околі, а це означає, що , .
Збираючи разом введені в цьому пункті основні поняття, отримаємо: нехай в деякому проколеному околі ?=?(x) точки
тоді
якщо функція обмежена на , то
якщо '
якщо
При використовуванні рівності з символами О і о слідує мати на увазі, що вони не є рівністю в звичайному значенні цього слова. Так, якщо
то було б помилкою зробити звідси висновок, що як це було б у разі звичайної рівності. Наприклад, і при , але . Аналогічно, якщо
при
то було б помилкою зробити висновок, що
Річ у тому, що один і той же символ або може позначати різні конкретні функції. Ця обставина зв'язана з тим, що при визначенні символів і ми по суті ввели цілі класи функцій, що володіють певними властивостями (клас функцій, обмежених в деякому околі точки в порівнянні з функцією і клас функцій, нескінченно малих в порівнянні з f(x) при ) і було б правильнішим писати не і , а відповідно і о . Проте це призвело б до істотного ускладнення обчислень з формулами, в яких зустрічаються символи О і о. Тому ми збережемо колишній запис і , але завжди читатимемо цю рівність, відповідно до приведених вище визначень, тільки в одну сторону: зліва направо (якщо, звичайно, не обумовлено що-небудь інше). Наприклад, запис означає, що функція є нескінченно малою в порівнянні з функцією f при але зовсім не те, що всяка нескінченно мала по порівнянню з f функція рівна .
Як приклад на поводження з цими символами доведемо рівність
(1.31)
де с - стала.
Згідно сказаному, треба показати, що якщо , то . Дійсно, якщо , то , де 0. Покладемо тоді де, очевидно і, значить, .
На закінчення відзначимо, що сказане про використовування символів О і о не виключає, звичайно, того, що окремі формули з цими символами можуть виявитися справедливими не тільки при читанні зліва направо, але і справа наліво; так, формула (1.31) при вірна і при читанні справа наліво.
Приклади.
1. ;
тому
2.
3. , бо
4.Так як |1/x2| |1/x| при |x| 1, то 1/x2 = O(1/x) при x ;
5.1/x = O(1/x2) при x 0 так как |1/x| 1/x2 при |x| 1.
6.Функції f(x) = x(2+sin 1/x) g(x) = x x 0 являються нескінчено малими одного порядку при x a , так як
f/g = (x(2+sin 1/x))/x = 2+sin 1/x = |2+sin 1/x| 3 ==> f=O(g), g/f = 1/|2+sin 1/x| 1 ==> g=O(f).
7. x2 = o(x) при x 0, так як limx 0x2/x = limx 0x = 0;
8.1/x2 = o(1/x) при x так як limx x/x2 = limx 1/x = 0
9.Знайти границю
Розв'язування. Використовуючи асимптотическое равенство (3) и асимптотическое равенство (1), а также учитывая, что x2 = o(x) при x 0 (см. пример 15) и f=o(x2) является функцией o(x) при x 0, найдем
ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ
Якщо функція замінюється на де якому кроці через , то різницяь називається
Loading...

 
 

Цікаве