WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Порівняння функцій та їх застосування - Курсова робота

Порівняння функцій та їх застосування - Курсова робота


Курсова робота з математики на тему:
ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ
ЗМІСТ
ВСТУП 3
1. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ 4
§1. ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ 4
§2. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ 9
§3. ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ 18
§4. МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ. 21
ВИСНОВОК 26
Вступ
Нехай дано множину Е дійсних чисел. Якщо кожному числу за певним законом поставлено у відповідність одне дійсне число y, то кажуть, що на множині Е задана (визначена) функція, і записують . При цьому x називають незалежною змінною, або аргументом, а y - залежною змінною, або функцією.
В цій роботі передбачається розглянути: О-символіку Ландау для функцій однієї змінної, заданої в проколотому околі довести ряд тверджень про арифметичні дії над О-символами та еквівалентними функціями; деякі важливі границі; способи порівняння функцій та ін.
Розглянути метод виділення головної частини функції в застосуванні до обчислення до границь. Теоретичні дослідження проілюструвати розв'язанням вправ?
1. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ
ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ
В цьому пункті обчислюються границі, які неодноразово зустрічатимуться надалі.
Лема 1.
(1.1)
Доведення. Розглянемо круг радіусом R з центром в точці О. Нехай радіус 0В утворює кут , з радіусом ОА. З'єднаємо точки А і В відрізком і проведемо з точки А перпендикуляр до радіуса ОА до перетину в точці С з продовженням радіуса 0В (мал. 28). Тоді площа трикутника АОВ рівна , площа сектора AОB рівна а площа трикутника АОС рівна Трикутник АОВ є частиною сектора АОВ, який у свою чергу є частиною трикутника АОС; тому
звідки
отже,
або, замінюючи величини їм оберними
(1.2)
Зауважимо, що через парність функцій і нерівність (1.2) справедлива і при . Оскільки функція неперервна і , то з (1.2) при слідує рівність (1.1).
Наслідок 1.
(1.3)
Дійсно,
Наслідок 2.
(1.4)
Функція строго монотонна і неперервна на відрізку , тому обернена функція також строго монотонна і неперервна на відрізкуе . Оскільки , то записи і еквівалентні. Щоб обчислити границю (1.4), застосуємо правило заміни змінної для границю неперервних функцій. Поклавши , маємо
Наслідок 3.
(1.5)
Ця рівність випливає аналогічно попередній з (1.3).
Лема 2.
(1.6)
Рівність
(1.7)
де Звідси випливає, що для будь-якої послідовності натуральних чисел, такї, що
(1.8)
маємо
(1.9)
Дійсно, нехай задано ; з (1.7) випливає, що знайдеться таке що при
(1.10)
а з умови (1.8) випливає, що існує таке що при тому в силу (1.10)
при що і означає виконання рівності (1.9).
Нехай тепер послідовність така, що
тобто
(1.11)
Покажемо, що При цьому без обмеження спільності можна вважати, що Для довільного знайдеться таке натуральне що і, отже, причому в силу Тому маємо:
(1.12)
Наголошуючи, що в силу (1,9)
і
і переходячи до границю в нерівності (1.12) при , отримаємо
Оскільки -первісна послідовність, яка задовільняє умовам (1.11), то тим самим доведено, що
(1.13)
Нехай тепер послідовність така, що.
тобто,
(1.14)
Покладемо , тоді і при чому без обмеження спільності можна вважати, що Тоді
,
де
і
і через вже доведену рівність (1.13)
Але була довільною послідовністю, що задовольняє умовам (1.14), тому
(1.15)
Таким чином, функція має в точці О границі з ліва і права, рівні одному і тому ж числу е. Тому існує і її двостороння границя при , яка також рівна е.
Наслідок 1.
(1.16)
і, зокрема, при
Дійсно, використовуючи неперервність логарифмічної функції, неперервність суперпозиції функцій і рівність (1.6), отримаємо:
Наслідок 2.
(1.17)
Зокрема, якщо то
(1.І8)
Функція строго монотонна і неперервна на всій числовій осі, тому зворотна функція також строго монотонна і неперервна при . Оскільки при маємо також і , то позначення і еквівалентні. Застосуємо для обчислення границі (1.17) правило заміни змінної.
Поклавши , отримаємо
ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ
Всі, що розглядаються в цьому пункті, функції визначені в деякому фіксованому проколотому околі точки розширеної числової прямої: при чому цей окіл може бути і одностороній. Тому кожного разу не буде сказано, що .
Як ми вже знаємо, сума, різниця і добуток нескінченно малих функцій є також нескінченно малими функціями; цього не можна, взагалі кажучи, сказати про їх подільність: ділення однієї нескінченно малої на іншу може призвести до різноманітних випадків, як це показують нижче проведені приклади нескінченно малих при функцій і .
Нехай, наприклад і тоді
Якщо ж то а якщо , то границя не існує.
Означення 1. Якщо для двох функцій f і g існують такі проколені околи і сталі , що для всіх виконується нерівність то функція f називається обмеженою порівнянно з функцією g на і позначається:
(читається: є велике від при , прямучому до ).
Наголосимо, що запис має тут інше, ніж звичайно, значення: він тільки вказує на те, що дана властивість має місце лише в деякому околі точки ні про яку межу тут мови немає.
Лема 3. Якщо і існує скінчена границя то
Доведення. З існування скінченої границі
,
слідує існування такого проколотого околу точки що функція на ній обмежена, тобто є така стала , що для всіх виконується нерівність а отже, і нерівність Це і означає, що , .
Приклади. при , або при ; при , або при . Запис при , означає, що функція обмежена в деякому околі точки наприклад при , або , і, значить, функція обмежена в околі точки
Означення 2. Якщо функції і такі, що і при , то вони називаються функціями одного порядку при , це записується у вигляді :
Це поняття найбільш змістовне у тому випадку, коли функції f і g є або нескінченно малими, або нескінченно великими при . Наприклад, функції і є при нескінченно малими одного порядку, бо
Лема 4. Якщо існує скінчена межа , то
Доведення. Покладемо тоді і Отже з леми 3, при
Loading...

 
 

Цікаве