WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціал - Реферат

Диференціал - Реферат

=
=(Зx2 + 4x) x + (3х + 2 + x) x2;
dy = f' (x) x = (3x2 + 4x) dx.
Величини y і x еквівалентні при x 0 і х 0, оскільки dx = x і
Абсолютна похибка | y - dy| = |3х + 2 + x| x2 при x 0 є нескінченно малою другого порядку в порівнянні з x, тому що
якщо х - і є нескінченною малою більш високого порядку, ніж другий, коли x 0 і х .
3. Довести, що при малих значеннях Дл: і х ;> 0 справедлива формула
О Розглянемо функцію f (х) = x (0; + ). Маємо I шукана рівність випливає з формули (6). Зокрема, якщо х = 1, то
НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
Основною задачею диференціального числення є знаходження похідної f'(х) заданої функції f(х). Одне з можливих фізичних трактувань цієї задачі - визначення швидкості руху за функцією,яка задає пройдений шлях за час руху. З практичної точки зору природною є обернена задача, а саме, визначення пройденого шляху за відомою швидкістю руху як функцією часу. Більш формально, остання задача є знаходженням функції f(х) за відомою її похідною f (х). Розв'язується ця задача за допомогою невизначеного інтеграла.
1.1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла
Функція F (х) називається первісною функції f (х) на проміжку , якщо F (х) диференційовна на і F' (х) = f (х), х .
Наприклад: 1) первісною функції f(x) = x2, x R є функція F(x)= (справді, F'(x) = x R); очевидно, що первісними будуть також функції F (х) = , F(x) = і взагалі F (x) = +С, де С - довільна стала, оскільки F' (х) = x ;
2) функція f(х) = cos х, х R має первісну функцію F (х) = sin x + С, aбо
F' (х) = (sin х + С)' = cos х, х R.
Розглянуті приклади показують, що задача знаходження первісної розв'язується неоднозначно. Інакше кажучи, якщо для функції f(х) існує первісна F(х), то ця первісна не одна. Виникає запитання: як знайти всі первісні даної функції, якщо відома хоча б одна з них? Відповідь дає така теорема.
Теорема. Якщо F (х) - первісна функції f (х) на проміжку , то всяка інша первісна функції f (х) на цьому самому проміжку має вигляд F (х) + С.
О Нехай Ф(х) - деяка інша, крім F (х), первісна функції f(х), тобто Ф'(х) = f(х), х . Маємо
а це означає (гл. 5, п. 5.2, прикл. 4), що Ф(х)-F (x) = С. Отже, Ф(х)=Р(х)+С. o
З цієї теореми випливає, що множина функцій F(х)+С, де F(х) - одна з первісних функції f(х), а С - довільна стала, визначає всю сукупність первісних заданої функції.
Якщо F(х) - первісна функції f(х) на проміжку і С - довільна стала, то вираз F(х) + С називається невизначеним інтегралом функції f(х) на цьому проміжку і позначається символом . Таким чином, символ означає множину всіх первісних функції f (х).
Знак , який ввів Лейбніц, називається інтегралом, f(x)dx - підінтегральним виразом, f(х) - підінтегральною функцією, х - змінною інтегрування. Отже, за означенням,
f(x)dx= F(x) + C, якщо F'(x) = f(x), x . (1)
Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.
З погляду геометрії невизначений інтеграл є множиною кривих, кожна з яких називається інтегральною кривою і утворюється зсувом однієї з них паралельно самій собі уздовж осі Оу (рис. 1). Щоб з цієї множини виділити певну інтегральну криву F(x), достатньо задати її значення F(х0) в якій-небудь точці х0 .
З рівностей (1) випливають такі властивості невизначеного інтеграла.
1°. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:
( (х) dx)' = (F (x) + С)' = F' (x) = f (х).
Інакше кажучи, знаки похідної і невизначеного інтеграла взаємно знищуються. Це природно, бо операції диференціювання та інтегрування - взаємно обернені. Внаслідок цього правильність виконання операції інтегрування перевіряється диференціюванням. Наприклад,
2°. Невизначний Інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:
(х) = '(х) dx = (х) dx = F(х) + С.
3°. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:
d( (х) dx) - ( (х) dx)' dx = f(х) dx.
4°. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:
(x)dx=C (x)dx.
5°. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій:
Властивості 4° і 5° перевіряються диференціюванням на основі властивості 1°. Властивість 5° справедлива для довільного скінченного числа доданків.
6°. Якщо
і u = (х) - довільна функція, що має неперервну похідну, то
(u)du=F(u)+C. (2)
О Внаслідок інваріантності форми першого диференціала (гл. 5, п. 3.2) і властивості 2° маємо
dF (u)=F'(u) du=f(u) du;
Ця властивість (її називають інваріантністю формули інтегрування) дуже важлива. Вона означає, що та чи інша формула для невизначеного інтеграла залишається справедливою незалежно від того, чи змінна інтегрування є незалежною змінною, чи довільною функцією від неї, що має неперервну похідну. Таким чином, кількість інтегралів, які обчислюються (або, як кажуть, "беруться"), необмежено збільшується. Наприклад, оскільки .
Користуючись інваріантністю цієї формули, одержимо формулу де - довільна функція, що має неперервну похідну. Зокрема:
тобто
тобто
тобто
Природно, виникає запитання: чи для всякої функції існує невизначений інтеграл? Негативну відповідь на це запитання дає такий приклад: нехай
Покажемо, що функція f(x) на проміжку (- 1; 1) не має первісної. Припустимо протилежне. Нехай існує така функція F(х), що х ( - 1; 1): F'(х)=f(х). Тоді з теореми Лагранжа на відрізку [0; х], 0 < x < l, випливає, що
(F'+ (0) - права похідна функції F(х) в точці х = 0). Але F'+ (0) = F(0) = 0. Одержане протиріччя означає, що задана функція первісної не має.
Цей приклад показує, що потрібна теорема, яка б гарантувала існування невизначеного інтеграла.
В п. 2.4 буде доведено, що всяка неперервна на проміжку функція має на цьому проміжку первісну. У зв'язку з цим надалі вважатимемо, що підінтегральна функція розглядається дише на тих проміжках, де вона неперервна.
Loading...

 
 

Цікаве