WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Оцінювання парамерів моделі метoдом найменших квадратів - Реферат

Оцінювання парамерів моделі метoдом найменших квадратів - Реферат


РЕФЕРАТ
на тему:
ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕРІВ МОДЕЛІ
МЕТOДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ
ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕРІВ МОДЕЛІ
МЕТДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ
Звернемося до прикладу простої економічної моделі, де потрібно кількісно оцінити зв'язок між витратами на споживання та доходами сім'ї. Щоб оцінити параметри моделі необхідно сформувати сукупність спостережень, кожна одиниця якої характеризується витратами на споживання і доходами сімей. Припустимо, що економетрична модель споживання будується для тієї групи людей, в якій зі збільшенням доходів зростають витрати на споживання.
Зобразимо кожну пару спостережень у системі координат, де величина витрат на споживання відкладається на осі ординат, а доходів - на осі абсцис. У результаті дістанемо кореляційне поле точок. (рис. 1.1.)
у
І
ІІ
ІІІ
х
Рис. 1.1. Корекційне поле точок
На підставі гіпотези про лінійність, зв'язку між витратами па споживання і доходом сімей (див. Рис. 1.1), через кореляційне поле точок можна провести безліч прямих ліній, які різняться між собою параметрами а0 і а1. Так, якщо витрати на споживання описуватимуться прямою І, то відхилення їх фактичних значень від розрахункових матимуть переважно знак "мінус". Якщо вони описуватимуться прямою III, то ці відхилення будуть переважно додатними, а якщо прямою II, то кількість від'ємних і додатних відхилень буде приблизно однаковою. Наявність серед відхилень переважно від'ємних чи додатних значень підтверджує, що вони мають невипадковий характер. А це означає: певна пряма лінія неадекватно описує фактичну залежність між витратами на споживання і доходом сімей. Звідси постає задача - застосувати метод найменших квадратів для оцінювання параметрів моделі, щоб відхилення фактичних витрат від розрахункових на основі прямої мали приблизно однакову суму від'ємних і додатних значень, а також були б найменшими. Останнє свідчитиме про те, що розрахункові значення витрат на споживання максимально наближені до фактичних, а це є гарантом достовірності моделі.
Недоцільно знаходити параметри економетричної моделі, мінімізуючи суму лінійних відхилень фактичних витрат наспоживання від розрахункових, бо вона може дорівнювати нулю, якщо сума від'ємних і додатних відхилень буде однаковою. Тому мінімізації підлягає сума квадратів відхилень, і величина її залежатиме безпосередньо від розсіювання точок навколо лінії регресії, а саме:
.
Принцип найменших квадратів відхилень полягає в знаходженні таких і ,
для яких , найменша. Необхідна умова для цього в рівних нулю частинах похідних цієї функції за кожним із параметрів і .Метод, який реалізує цей принцип, називається методом найменших квадратів (1МНК). Зауважимо, що 1МНК можна застосовувати лише тоді, коли залишки розподілені нормально, тобто середнє їх значення дорівнює нулю і дисперсія - константа. Оскільки
= - , то
Виконавши елементарні перетворення, дістанемо систему нормальних рівнянь
Підставимо в систему (2.19) значення
які обчислені на основі сукупності спостережень, і розв'яжемо її відносно невідомих оцінок параметрів і :
Оскільки оцінки найменших квадратів такі, що лінія регресії обов'язково проходить через точку середніх значень ( , ), то оцінки параметрів моделі можна знайти дещо інакше.
Поділивши перше рівняння системи (1.1) на п, дістанемо:
(1.2.)
Віднімемо (1.2) від
Нехай і , тоді
,
а відхилення фактичних значень від розрахункових будуть такі:
Сума квадратів залишків при цьому
=
Мінімізація цієї суми за невідомою оцінкою параметра я, дає співвідношення
(1.3)
Крім того, можна помітити, що тобто друга похідна за параметром - від суми квадратів відхилень додатна. Отже, знайдене значення відповідає мінімуму суми квадратів відхилень.
Оцінку параметра можна обчислити, використавши співвідношення (1.2.)
(1.4)
Співвідношення (1.3), можна було б дістати також, записавши друге рівняння системи (1.1) через відхилення кожної змінної від її середнього арифметичного значення, згадавши при цьому, що сума таких відхилень завжди дорівнює нулю.
Loading...

 
 

Цікаве