WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Властивості визначеного інтеграла - Реферат

Властивості визначеного інтеграла - Реферат


Реферат
на тему:
"Властивості визначеного
інтеграла"
1. Властивості визначеного інтеграла
10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування:
тощо.
Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.
Визначений інтеграл введений для випадку, коли ab.
20. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:
30. Від переставлення меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний:
(33)
Властивості 20 і 30 приймають за означенням. Відзначимо, що ці означення повністю виправдовує наведена далі формула Ньютона - Лейбніца.
40. Якщо функція f(x) інтегрована на максимальному з відрізків [a;b], [a;c], [c;b], то справедлива рівність
(34)
(адитивність визначеного інтеграла).
Припустимо спочатку, що a.
Переходячи в цій рівності до границі при , дістанемо формулу (34).
Інше розміщення точок a, b, с зводиться до вже розглянутого.
Якщо, наприклад, aНа рис. 7.5 показано геометрично цю властивість для випадку, коли і aЗауваження. Нехай f(x) - знакозмінна неперервна функція на відрізку [a;b], де aСкориставшись адитивністю та геометричним змістом інтеграла, дістанемо
де S1, S2, S3 - площі відповідних криволінійних трапецій.
Отже, в загальному випадку, з погляду геометрії визначений інтеграл (27) при ab то все формулюється навпаки .
Зазначимо, що площа заштрихованої на рис. 7.6 фігури виражається інтегралом
50. Сталий множник С можна винести за знак визначеного інтеграла
(35)
Дійсно
60. Визначений інтеграл від суми інтегрованих функцій дорівнює сумі визначених інтегралів від цих функцій:
(36)
Для довільного ? - розбиття маємо
Звідси, переходячи до границі при дістанемо формулу (36). Ця властивість має місце для довільного скінченого числа доданків.
Властивості 50 і 60 називають лінійністю визначеного інтервала.
70. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо , то
(37)
(збереження знака підінтегральної функції визначеним інтегралом).
Оскільки
то будь-яка інтегральна сума і її границя при , теж невід'ємна.
80. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо , то
(38)
(монотонність визначеного інтеграла).
Оскільки то з нерівності (37) маємо
Використовуючи властивість 40 , дістанемо нерівність (38).
Якщо то властивість 80 можна зобразити геометрично (7.7): площа криволінійноїтрапеції aA1B1b не менша площі криволінійної трапеції aA2B2b.
90. Якщо функція f(x) інтегрована на відрізку [a;b] (a(39)
Застосовуючи формулу (38) до нерівності
дістаємо
Звідки й випливає нерівність (39).
100. Якщо то
(40)
Скориставшись формулами (39) та (35), дістанемо
Звідси й одержуємо нерівність (40), оскільки
(41)
110. Якщо т і М - відповідно найменше і найбільше значення функції f(х) на відрізку [a;b] (a(42)
(оцінки інтеграла по області).
За умовою
тому з властивості 70 маємо
Застосовуючи до крайніх інтегралів формули (35) і (41), дістаємо нерівність (42).
Якщо , то властивість 110 ілюструється геометрично (рис. 7.8): площа криволінійної трапеції aABb не менша площі прямокутника aA1B1b і не більша площі прямокутника aA2B2b.
120. Якщо функція f(х) неперервна на відрізку [a;b], то на цьому відрізку знайдеться така точка с, що
(43)
(теорема про середнє значення функції).
Якщо функція f(х) неперервна на відрізку, то вона досягає свого найбільшого значення М і найменшого значення т. Тоді з оцінок (42) дістанемо (якщо ab, приводимо ті самі міркування для інтеграла , ф потім, переставивши границі. Приходимо до попередньої формули.
Рівність (44) називається формулою середнього значення, а величина f(c) - середнім значенням функції на відрізку [a;b].
Теорема про середнє значення при має такий геометричний зміст (рис. 7.9.): значення визначеного інтеграла дорівнює площі прямокутника з висотою f(c) і основою b-a.
Термін "середнє значення функції" добре узгоджується з такими фізичними поняттями, як середня швидкість, середня густина, середня потужність тощо. Якщо, наприклад, у формулі (44) інтеграл означає пройдений шлях за проміжок часу f [a;b] (п.2.2), то середнє значення f(c) означає середню швидкість, тобто сталу швидкість, при якій точка, рухаючись рівномірно, за той же проміжок часу пройшла б той самий шлях, що і при нерівномірному русі із швидкістю f(t).
130. Якщо змінити значення інтегрованої функції в скінченому числі точок, то інтегрованість її не порушиться, а значення інтеграла при цьому не зміниться.
Ця властивість дає змогу говорити про інтеграл навіть тоді, коли функція f(х) не визначена в скінченому числі точок відрізка[a;b]. При цьому в цих точках функції можна надати цілком довільних значень і величина інтеграла не зміниться.
Loading...

 
 

Цікаве