WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Критерій інтегрованості функцій - Реферат

Критерій інтегрованості функцій - Реферат


Реферат на тему:
Критерій інтегрованості функцій
Комбінацією, що інтегрується, називається диференціальне рівняння, отримане шляхом перетворень із системи, диференціальних рівнянь, але яке вже можна легко інтегрувати.
.
Одна комбінація, що інтегрується, дає можливість одержати одне кінцеве рівняння
,
яке є першим інтегралом системи.
Геометрично перший інтеграл являє собою -вимірну поверхню в -вимірному просторі, що цілком складається з інтегральних кривих
Якщо знайдено -комбінацій, що інтегруються, то одержуємо перших інтегралів
І, якщо інтеграли незалежні, то хоча б один з визначників . Звідси з системи можна виразити - невідомих функцій через інші і підставивши їх у вихідну систему, понизити порядок до - рівнянь. Якщо і всі інтеграли незалежні, то одержимо загальний інтеграл системи.
Особливо поширеним засобом знаходження комбінацій, що інтегруються, є використання систем у симетричному вигляді.
Систему диференціальних рівнянь, що записана в нормальній формі
можна переписати у вигляді
. .
При такій формі запису всі змінні рівнозначні.
Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді
,
називається системою у симетричному вигляді.
При знаходженні комбінацій, що інтегруються, найбільш часто використовується властивість "пропорційності". А саме, для систем в симетричному вигляді справедливарівність
.
Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.
1) Рівняння вигляду
.
Проінтегрувавши його -раз одержимо загальний розв'язок у вигляді
.
Якщо задані умови Коші
,
то розв'язок має вигляд
2) Рівняння вигляду
.
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді
Використовуючи основне співвідношення , одержимо
.
Проінтегрувавши його, маємо
.
І одержимо параметричний запис рівняння -порядку
Проробивши зазначений процес ще -раз, одержимо загальний розв'язок рівняння в параметричному вигляді
3) Рівняння вигляду
.
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді
Використовуючи основне співвідношення , одержуємо
. Проінтегрувавши, маємо
.
І одержали параметричний запис рівняння -порядку
Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо
Проробивши останню процедуру -раз, запишемо загальний розв'язок у параметричному вигляді
4) Нехай рівняння вигляду
можна розв'язати відносно старшої похідної
.
Домножимо його на й одержимо
.
Перепишемо його у вигляді
.
Проінтегрувавши, маємо
,
тобто ,
або
.
Таким чином одержали параметричний запис рівняння -порядку
і повернулися до третього випадку.
Loading...

 
 

Цікаве