WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Формула Ньютона – Лейбніца - Реферат

Формула Ньютона – Лейбніца - Реферат


Реферат
На тему: Формула Ньютона - Лейбніца.
Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x, y = x? Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.
Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 - 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 - 1716). Строге доведення формули Ньютон - Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням.
Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що
Виберемо довільну точку x є [ a; b]і проведемо через неї пенпендикуляр хК до осі Ох. Площа фігури а А К х змінюється зі змінною х. Позначемо цю функцію через S (x) і покажемо, що існує її похідна причина, при чому S?(x)=?(x), де y=?(x) - підінтегральна функція, графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше кажучи, покажемо, що S (x) є первісною для ?(x).
Надамо змінній x приросту ?x, вважаючи ( для спрощення міркування), що ?x > 0. Тоді й фенкція S (x) набуде приросту ?S (x). У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку[ a; b]функція y=?(x )досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y=?(x ) є неперервною на відрізку[x,x+?x], то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,
m ?x < ? S (x) < M ?x
Позначимо через F(x)будь-яку первісну для функції y=?(x ). За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C. Тому
S(x) = F(x)+ C. (1)
При x=a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A, тому S(x) = 0.
Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S(x) число 0, одер-жимо C= - F(a). Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо
S(x) = F(x)-F(a). (2)
Коли x=b, то площа криволінійної трапеції дорівнює числуS=S(b). Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд
S(b) = F(b)-F(a).
Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює
b
значенню ? ?(x) dx. Тому можна зробити висновок, що
a
b
? ?(x) dx = F(b)-F(a). (3)
a
Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку[a;b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x=b i x=a.
Різницю F(b)-F(a) позначають. Тому рівність (3) можна записати так:
Розвязання роглянутих раніше двох задач про площі трикутника і фігури, обмеженої параболою, значно спрощується, якщо використати формулу Ньютона - Лейбніца. Справді,
(кв. од.);
(кв. од.).
П р и к л а д 3. Обчислимо за формулою Ньютона - Лейбніца площу фігури,
обмеженої зверху синусоїдою y=sin x, знизу - віссю Ох, а з боків - прямими
Розв'язання:
( кв. од.).
Запишемо символічно основні властивості інтеграла, які випливають із властивостей первісної та формули Ньютона - Лейбніца. Їх неважко довести, користуючись означенням інтеграла:
де
тобто якщо відрізок[a;b]розбито на два
відрізки точкою с, то інтеграл на відрізку[a;b]дорівнює сумі інтегралів на відрізках[a;b] i [a;c].
де
Доведіть самостійно перші три властивості. Останню властивість доведено в курсі математичного аналізу.
Приклад 4. Обчислити
Розв'язання:
Приклад 5. Обчислити
Розв'язання:
Приклад 6. Обчислити
Розв'яззати:
Loading...

 
 

Цікаве