WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Інтегрування раціональних функцій - Реферат

Інтегрування раціональних функцій - Реферат


Реферат
Інтегрування раціональних функцій
Раціональні функції складають важливий клас функцій , інтеграли від яких завжди виражаються через елементарні функції. Нехай треба знайти
Враховуючи рівність , цей інтеграл можна подати як суму інтеграла від многочлена і правильного раціонального дробу:
= dx Інтеграл від многочлена знаходить безпосередньо , а інтеграл від правильного раціонального дробу зводиться за допомогою формули
+…+ до інтегралів від елементарних дробів. Розглянемо ці інтеграли:
1.
2.
3.
Перший інтеграл знаходиться безпосередньо:
а другий є табличним
, оскільки за умовою q-
Зауважимо що підстановка "підказана" тим , що квадратний тричлен у знаменнику можна записати у вигляді
У загальнішому випадку маємо
де Знак мінус чи плюс береться залежно від того , якими будуть корені знаменника : комплексними чи дійсними . Звідси випливає , що інтеграли виду обчислюється підстановкою
4.Інтеграл виду
І
Підстановкою зводиться до двох інтегралів :
Перший з цихінтегралівобчислюється безпосередньо ,а другий -за рекрутною формолою……….
1. Отже,встановлено,що інтегрування довільної раціональної функції зводиться
До інтегрування многочлена і скінченного числа елементарних дробів,інтеграли від яких виражається через раціональні функції,логарифми і арктангенси.
Інакше кажучи, будь-яка раціональна функція інтегрується в елементарних функція.
(1)
де r,s,…t-цілі числа ,які називаються кратними кореннями при чому r+s+…+t=n, n-степінь многочлена Q(x).
Серед коренів (1) можуть бути і комплексні.В алгебрі доказується, що якщо
кратний комплесний корінь многочлена,то цей многочлен має також
спряження з r-кратним кореннем =a-bi.Другими словами, якщо в формулі (1)
входить множник (x- ) , де =a-bi (b 0),то вона містить також і множник (x- ) .Помноживши ці два многочлена получимо
де p=-a, q=a і q -звичайні числа.
Поступаючи аналогічно з іншими комплексними кореннями запишемо формулу(1) у вигляді :
-звичайні числа.
Loading...

 
 

Цікаве