WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Числові послідовності. Границя, основні властивості границь. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості(пошукова робота) - Реферат

Числові послідовності. Границя, основні властивості границь. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості(пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота на тему:
Числові послідовності. Границя, основні властивості границь. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості. Формулювання теореми про існування границі монотонної послідовності і функції. Порівняння величин. Еквівалентні нескінченно малі величини.
План
· Числові послідовності.
· Границя, основні властивості.
· Границя монотонної послідовності і функції.
· Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості.
· Порівняння величин.
· Еквівалентні нескінченно малі величини.
Числові послідовності
1. Означення числової послідовності
Дамо означення нескінченної числової послідовності та опишемо деякі з них.
Означення. Нескінченною числовою послідовністю називається сукупність чисел, кожному з яких присвоєно певний порядковий номер
(5.1)
де числа - члени послідовності, відповідно, перший, другий і т.д.; - - й, або загальний член послідовності.
Числову послідовність записують або у вигляді ряду чисел (5.1) або у вигляді Числова послідовність вважається заданою, якщо вказано закон або правило, за допомогою якого кожному натуральному числу ставиться у відповідність дійсне число Опишемо основні способи задання цього правила.
Спосіб 1. Правило може бути задане формулою, якою задається загальний член послідовності
Приклади.
1. Відповідна числова послідовність має вигляд
.
2. Дана послідовність має вигляд .
Спосіб 2. При заданні послідовності задають кілька її початкових членів і правило (майже завжди це формула) утворення -го члена за допомогою попередніх членів. Такий спосіб називається рекурентним.
Наприклад, нехай Так задано послідовність .
Спосіб 3. У деяких випадках може бути невідома формула загального члена послідовності, і також не задано рекурентне співвідношення, а послідовність задається словесно. Наприклад, нехай є десятковим наближенням квадратного кореня із з надбавкою з точністю до Тоді перші члени цієї послідовності мають вигляд:
Геометрично члени послідовності зображаються точками на числовій осі.
Серед числових послідовностей в окремий клас виділяють монотонні послідовності, що об'єднують в собі зростаючі, спадні , неспадні, не зростаючі послідовності.
Означення . Послідовність називається зростаючою, якщо кожний її наступний член більший від попереднього, тобто для кожного
Приклад. У послідовності кожний наступний член більший від попереднього. Отже, задана послідовність є зростаюча.
Означення . Послідовність називається неспадною, якщо для кожного
Приклад. Якщо покласти ( означає функцію рантьє), то дістанемо неспадну послідовність .
Означення . Послідовність називається спадною, якщо
для кожного
Приклад. Послідовність є спадна.
Означення . Послідовність називається незростаючою, якщо для кожного .
Приклад . Якщо взяти то дістанемо незростаючу послідовність.
Для дальшого вивчення числових послідовностей слід ввести поняття обмежених і необмежених послідовностей.
Означення . Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує дійсне число таке, що для всякого виконується нерівність .
Послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує дійсне число таке, що для всіх виконується нерівність
Приклади .
1. Якщо взяти дістанемо послідовність обмежену зверху , оскільки
2. Якщо взяти дістанемо послідовність обмежену знизу, оскільки
Означення . Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена і зверху, і знизу, у противному разі - необмеженою.
Приклади .
1. Нехай Послідовність
є обмежена
Послідовність не є обмежена .
Наведемо ще такі формулювання означення обмежених та необмежених послідовностей .
Послідовність називається обмеженою, якщо для всіх
Покладемо Послідовність називається обмеженою, якщо
Послідовність називається необмеженою, якщо
Приклади .
1. Нехай Тоді Отже, послідовність є обмежена.
2. Розглянемо послідовність Тут Яке б число ми не взяли, знайдеться таке натуральне число, наприклад , коли Отже, задана послідовність не є обмежена .
Зауваження. Обмежена послідовність не є обов'язково монотонною, і навпаки, не всяка монотонна послідовність є обмежена. Так, послідовність є обмежена , але не є монотонна; послідовність є монотонна, але не є обмежена; послідовність є і необмежена, і немонотонна; послідовність є обмежена і монотонна.
2. Границя числової послідовності
Дамо означення границі послідовності та розглянемо геометричну ілюстрацію цього поняття.
Означення . Стале число називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого як завгодно малого додатного числа існує таке натуральне число що для всіх виконується нерівність
(5.2)
Той факт, що є границею послідовності символічно
записується так:
або при
Іншими словами, число називається границею послідовності якщо . (5.3)
Приклад. Довести, що Знайти номер такий, коли при
Р о з в ' я з о к. Згідно з означенням границі треба показати, що
(5.4)
Для виконання нерівності (5.4) треба , щоб
або .
Отже, існує число ,а саме коли при виконується нерівність(5.4). Тому Знайдемо залежно від конкретно заданого . Нехай тоді
Тому нерівність
справедлива для всіх
Розглянемо геометричну ілюстрацію того факту, коли є
границею числової послідовності . Візьмемо на числовій осі точку з абсцисою і відкладатимемо точки з абсцисами
Тоді нерівність (5.3) означає, що відстань між точкою при і точкою повинна бути меншою за . Отже, всі члени послідовності починаючи з повинні знаходитися в інтервалі Інтервал є - околом точки .
Якщо число є границею послідовності , то всі члени цієї послідовності, номери яких знаходяться у довільному - околі точки . Що стосується членів послідовності номери яких то про їх розміщення на числовій осі нічого не можна сказати, вони можуть знаходитися як всередині - околу точки , так і поза ним. Проте у всякому разі поза довільним - околом точки може бути розміщене тільки скінчене число членів послідовності.
3. Властивості збіжних числових послідовностей
Введемо поняття збіжних послідовностей та подамо ряд їх властивостей, які будемо формулювати у вигляді теорем.
Означення . Числова послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не має границі, - розбіжною.
Теорема 1. Послідовність може мати тільки одну границю.
Теорема 2. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.
Зауваження . Оберненого твердження цієї теореми не існує.
Так, послідовність є обмежена, але вона не має границі.
Теорема 3. Якщо і то й члени послідовності починаючи з певного номера ідля всіх наступних номерів, будуть більші за (менші за ).
Наслідок 1. Члени послідовності яка має границю, починаючи з певного номера, мають знак цієї границі.
Наслідок 2. Якщо дві послідовності і при кожному значенні задовольняють нерівності і то
Зауваження . Якщо члени послідовностей і що мають границі, задовольняють при всіх нерівності то
Теорема 4. Нехай члени послідовностей , , при всіх значеннях задовольняють нерівності і Тоді
4. Нескінченно малі та нескінченно великі числові послідовності
Введемо поняття нескінченно малих та нескінченно великих послідовностей і встановимо зв'язок між ними.
Означення. Числова послідовність називається нескінченно малою, якщо
(5.5)
що те саме при
Означення. Числова послідовність називається нескінченно великою, якщо
(5.6)
Цей вираз записують так:
Теорема 1. Якщо послідовність нескінченно мала і при всіх то послідовність - нескінченно велика. Якщо послідовність нескінченно велика і при всіх то послідовність -
Loading...

 
 

Цікаве