WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Інтерполяція(пошукова робота) - Реферат

Інтерполяція(пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота на тему:
Інтерполяція.
План
" Інтерполяція
" Інтерполяційна формула Лагранжа
" Інтерполяційна формула Ньютона
13.16. Інтерполювання функцій
Нехай відомі числові значення деякої величини , які відповідають числовим значенням величини /вузли інтерполювання /. Вважаючи функцією від , складемо таблицю із цих чисел:
Такі таблиці виникають на практиці в результаті дослідів, які проводяться над величиною ; але їх складають і для аналітично заданих функцій : таблиці квадратів та кубів чисел, таблиці логарифмів, таблиці тригонометричних функцій і т.п.
Часто виникає потреба в ущільненні таблиць, тобто в обчисленні проміжних значень , відсутніх в таблиці, задовольнившись при цьому лише наявним запасом табличних значень цієї величини . Також буває потрібним знайти на базі таблиці аналітичний вираз деякої функції , яка набувала б табличних значень за табличних значень . Звичайно, за беруть многочлен степеня , що має таку властивість (інтерполюючий многочлен).
Ознайомимося з деякими методами інтерполювання.
13.16.1. Інтерполяційна формула Лагранжа
Інтерполяційний многочлен запишемо у вигляді:
Для знаходження невизначених коефіцієнтів будемо покладати в цій рівності по черзі вимагаючи при цьому, щоб
Тоді одержуємо
Підставивши знайдені значення коефіцієнтів у вираз інтерполяційного многочлена, одержимо інтерполяційну формулу Лагранжа:
Поклавши в цю формулу , що дорівнює потрібному нам проміжному (нетабличному) значенню, одержуємо відповідне проміжне (нетабличне) значення . За табличних значень маємо відповідні табличні значення .
13.16.2. Інтерполяційна формула Ньютона
У випадку, коли вузли інтерполювання утворюють арифметичну прогресію (рівновіддалені)
( - крок інтерполювання), користуються інтерполяційною формулою, яка використовує скінченні різниці функції .
Скінченою різницею першого порядку величини називається різниця між двома послідовними її табличними значеннями:
Скінченою різницею другого порядку величини називається різниця між двома послідовними різницями першого порядку:
Аналогічно визначаються і скінченні різниці вищих порядків.
Із означень одержуємо:
Можна показатиметодом математичної індукції, що і в загальному випадку коефіцієнти виразу є біноміальними, а весь вираз нагадує розгорнутий -ий степінь суми. Тому
У цій формулі є номер табличного значення , або інакше - число кроків , які відділяють табличне значення від , тобто
Якщо будемо обчислювати нетабличне значення , що відповідає нетабличному значенню , і збережемо вигляд правої частини рівності для , то величина буде такою самою функцією від , якою функцією від раніше було ( за всіх табличних переходить в ).
Замінивши на , одержуємо інтерполяційну формулу Ньютона:
У розгорнутому вигляді є многочлен степеня відносно . За всіх табличних значень аргументу дорівнює відповідному табличному значенню функції , тобто .
Зауваження. Якщо функція лінійна або якщо розміщення на координатній площині точок наближено нагадує пряму лінію , то для одержання проміжних (нетабличних ) значень не має необхідності в інтерполяційних формулах, побудованих на базі усієї таблиці. Достатньо використати лише два ближчих вузли інтерполювання. Нехай і потрібно знайти , знаючи відповідні табличні значення та . Із рівняння прямої
одержимо
Цю формулу називають формулою лінійного інтерполювання. Нею часто користуються у випадках, коли вузли інтерполювання близькі один до одного.
Одержимо формули диференціювання функції, заданої таблицею, у випадку рівновіддалених вузлів інтерполювання.
Інтерполяційну формулу Ньютона запишемо так:
Оскільки
тощо,
то
тощо.
Для знаходження похідних функцій за табличних значень аргументу покладено і тому
тощо.
Ці формули поширюються на будь-яке табличне значення аргументу оскільки будь-яке значення з таблиці скінчених різниць можна вважати початковим, так що
Loading...

 
 

Цікаве