WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами(пошукова робота) - Реферат

Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами(пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота на тему:
Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами.
План
" Інтегрування частинами
" Інтегрування часток
" Заміна змінної
1. Інтегрування частинами
Нехай і - диференційовані функції на
Тоді або
Звідси
(8.16)
Формула (8.16) називається формулою інтегрування частинами в невизначеному інтегралі.
Користуючись формулою (8.16), рекомендується обчислення інтегралів від таких функцій :
де -поліном , - раціональна функція . Описати всі можливі випадки застосування формули інтегрування частинами неможливо. Інтегруючи такі вирази, завжди виникає дилема : що взяти за , а що - за . Інтегруючи вирази вигляду , , після того як підінтегральна функція буде розписана за властивостями 40 і 50 , одержимо інтеграли вигляду , де - одна з функцій в яких слід за брати , бо, в протилежному випадку, інтеграл ускладнюватиметься за рахунок зростання степенів . В інтегралах , де - одна з функцій вигідно за брати . В інших випадках вибір здійснюється залежно від того, при якому з виборів легше знайти за , хоч це теж не є абсолютною істиною . Іноді доводиться експериментувати .
Інтегруючи вирази , доцільно за взяти . Знаходження із співвідношень теж здійснюється інтегрування частинами .
Для прикладу знайдемо
Приймаючи , а , знайдемо
Далі матимемо , тобто дістанемо інтеграл .
Знову, взявши , знайдемо . Отже , одержимо таку систему рівнянь відносно та :
Звідси
Приклад 1 .
Позначивши ,
одержимо . Звідси
. (8.17)
Остання формула є рекурентною, тобто , знаючи , що , можна поступово знайти , де - ціле число,
більше за одиницю . Наприклад, при
Звідси .
Приклад 2. .
Нехай Тоді
і
У новому інтегралі степінь величини понизився на одиницю, а це означає , що інтеграл став простішим , ніж був .
Знайдемо тепер . Маємо .
Звідси
Отже , на основі формули (8.16) одержимо
Враховуючи значення , знаходимо
.
Приклад 3.
Із останньої рівності одержимо
.
Обчислимо тепер
Звідси .
Остаточно з урахуванням , матимемо
Останній приклад показує, що часто інтегрування частинами приводить до мети скоріше в тих випадках,де, як це здавалось би, доцільніше застосувати інші методи . У цьому можна переконатися, спробувавши знайти первісну для функції , застосувавши наприклад , заміну змінної за формулою , про що мова буде іти пізніше.
2. Інтегрування часток
Через те , що то
. (8.18)
Користуючись цим , стають очевидними такі формули :
.
Нехай маємо , причому , де - довільне дійсне число. Тоді
.
Розглянемо інтеграл вигляду якщо , то
, (8.19)
де .
Приклади .
1. .
2. .
3. .
Через те що , то
.
3. Заміна змінної
Нехай потрібно обчислити інтеграл причому безпосередньо первісну ми знайти не можемо, але відомо, що вона існує.
Зробимо заміну змінної в підінтегральному виразі
де неперервна функція з неперервною похідною, що має обернену функцію. Тоді і в цьому випадку має місце формула
(8.20)
Формулу (8.20) слід розуміти так, що після інтегрування в правій частині рівності замість буде підставлено його вираз через
Щоб довести рівність (8.20), потрібно довести, що похідні за від обох частин рівності рівні між собою:
Ми тут використали правило диференціювання оберненої функції.
Отже, похідні за від обох частин рівності (8.20) рівні, що й треба було довести.
Функцію потрібно вибирати так, щоби можна було обчислити інтеграл, що стоїть в правій частині рівності (8.20).
Фактично у п. 9.3.5 теж йшлося про заміну змінної, в чому можна безпосередньо переконатися .
Не можна дати універсальних замін змінних , які зводили б заданий інтеграл до простішого. Але для ряду випадків це можна здійснити. Доцільно, наприклад, в інтегралах, що містять під знаком інтеграла вирази вигляду
застосувати відповідно такі заміни змінних: або
або .
За подальшого вивчення методів інтегрування розглядатимуться інші заміни змінних .
Приклади .
1. . Підстановка зводить інтеграл до такого :
2. . Щоб позбутися експонент, доцільно скористатися такою заміною змінної .Тоді і інтеграл набере вигляду
Loading...

 
 

Цікаве