WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціями(пошукова робота) - Реферат

Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціями(пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота на тему:
Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціями. Використання таблиць неозначених інтегралів.
?
План
" Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції
" Інтеграли вигляду
" Інтеграли вигляду
" Інтеграли вигляду
· Інтеграли вигляду
" Інтеграли вигляду ( - ціле, додатне число)
" Інтеграли вигляду
8.3.9. Інтегрування трансцендентних функцій
а) Усі інтеграли вигляду інтегруються в замкненому вигляді. Тут - символ раціональної функції. Справді, підстановка зводить цей інтеграл до вигляду
Приклад. За допомогою заміни інтеграл перетворюється в такий :
б) Як уже зазначалося, інтеграли зводяться до розглядуваного. Тому інтеграл нас цікавить не тільки сам по собі, а й у зв'язку з тим, що й інші інтеграли зводяться до нього.
Усі інтеграли типу інтегруються в замкненому вигляді. Підстановка перетворює інтеграл у такий: тобто до інтеграла, розглянутого в п.9.8.
Ймовірно, що способи інтегрування заданого інтеграла в розумінні більшої або меншої трудності залежатимуть від характеру функції : парна чи непарна вона за змінною або , або і і , або, можливо, і не володіє цими властивостями. Нехай
Очевидно, що в цьому випадку її можна подати
у формі
Якщо то
Тому
Звідси випливає така підстановка:
,
тобто - раціональна функція .
Отже, якщо в разі заміни на підінтегральна функція змінює знак, то доцільно є підстановка .
Цілком аналогічно, якщо в разі заміни на
то доцільною є
підстановка .
Розглянемо тепер випадок тобто функція є парною як за , так і за . Очевидно, що .Якщо тепер знаки i замінити на протилежні, то , тобто є парною за , тому
. Вважаючи, що , одержимо
Підстановка зведе інтеграл до вигляду
Отже, у випадку доцільною є заміна змінної .
Оскільки , , (8.26)
то ,
тобто підстановка перетворить інтеграл до вигляду
.
Якщо не задовольняє жодну із розглянутих умов, то інтегрується за допомогою підстановки . Практично інтегруючи функцію перш за все варто встановити, чи задовольняє вона хоча б одну з умов
чи ні. Лише тоді, коли вона не задовольняє жодну, доцільно використати заміну , яку називають універсальною.
Приклад. 1.
Оскільки в разі заміни на і на підінтегральна функція не змінює знака, то підстановка зведе інтеграл до вигляду
Приклад 2. .
Цей інтеграл не задовольняє жодної з указаних умов. Тому слід використатипідстановку , яка зведе інтеграл до вигляду
.
Якщо , то
.
Якщо , то
При .
При .
Приклад 3. .
Підстановка . З її допомогою інтеграл перетвориться в
.
в) Усі інтеграли вигляду
де - раціональна функція, інтегруються в замкненому вигляді. Цей висновок випливає з п.9.4.
г) Інтеграли вигляду
( - ціле, додатне число) можна проінтегрувати відповідно за допомогою підстановок
В результаті матимемо
Аналогічно обчислюється і другий інтеграл.
д) Інтеграли вигляду де - цілі невід'ємні числа, обчислюються, використовуючи формули тригонометрії для пониження степеня:
(8.27)
Тоді
Піднісши до степеня і розкриваючи дужки, одержимо інтеграли, що містять в парних і непарних степенях. Інтеграли з непарними степенями обчислюються, як показано у випадку б). Парні показники степенів знову понижуємо за формулами (9.13). Продовжуючи так, дійдемо до інтегралів які легко обчислюються.
Якщо хоча б один з показників від'ємний, то необхідно робити підстановку (або ).
Інтеграли вигляду можна
проінтегрувати, застосовуючи формулу Муавра. Маємо:
(8.28)
Звідси
Далі обчислимо:
Аналогічно
Тепер уже інтегрування двох інтегралів здійснюється легко для будь-яких скінчених цілих .
е) Усі інтеграли вигляду
можуть бути представлені в замкненому вигляді, якщо функція є цілою раціональною функцією відносно синусів і косинусів величин, що стоять під знаком функції, а всі константи є дійсними числами.
Оскільки ціла раціональна функція будується лише на основі дій додавання, віднімання і множення ( зокрема піднесення до цілого додатного степеня ) , то кожний добуток двох множників можна подати у вигляді суми двох доданків на основі формул
(8.29)
Застосовуючи формули (8.29) послідовно до кожного члена, що є добутком кількох множників, функцію можна подати як лінійну комбінацію синусів і косинусів, аргументи яких є лінійними функціями . Кожна така лінійна комбінація інтегрується елементарно.
Приклад.
є) Усі інтеграли виглядів де є довільними дійсними константами, а - довільний поліном, інтегруються у замкненому вигляді.
Цей висновок випливає з п.8.3.8.
ж) Інтеграли вигляду за допомогою підстановки зводяться до інтегралів від біномінальних диференціалів , які вже були розглянуті в п.8.3.8 є). Там також було з'ясовано, в яких випадках інтеграл від біномінального диференціала інтегрується в замкненому вигляді. Отже, інтеграл виражається через елементарні функції, якщо 1) - ціле число; 2) - ціле число; 3) - ціле число.
Loading...

 
 

Цікаве