WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної - Реферат

Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної - Реферат

співвідношення ми з Д.Р. (5.1) завжди зможемо привести до Д.Р., яке розв'язане Відносно похідної.
Тому
Візьмемо, наприклад, за незалежну змінну, - за залежну, тоді прийдемо до Д.Р.
(5.19)
Якщо
(5.20)
- загальний розв'язок Д.Р. (5.19), то загальний розв'язок Д.Р. (5.1) можна отримати в параметричній формі.
(5.21)
Розглянемо деякі частинні випадки:
А. Д.Р., розв'язані віднлсносно шуканої функції.
Це рівняння має вигляд
(5.22)
За параметри і можна взяти і . Позначимо , тоді
(5.23)
Маємо
Звідки
(5.24)
Нехай - загальний розв'язок Д.Р. (5.24), тоді - загальний розв'язок Д.Р. (5.22).
Д.Р. (5.24) може мати особливий розв'язок , тоді Д.Р. (5.22) може мати особливий розв'язок .
Б. Випадок, коли Д.Р. розв'язане відносно незалежної змінної.
Це рівняння має вигляд
(5.25)
Інтегрується воно аналогічно Д.Р. (5.22). Покладемо . Тоді
Використовуючи співвідношення , отримаємо
(5.26)
Якщо - загальний інтеграл Д.Р. (5.26), то
(5.27)
загальний інтеграл Д.Р. (5.25).
Якщо - особливий рощзв'язок Д.Р.(5.26), то -може бути особливим розв'язком Д.Р. (5.25).
Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна проінтегрувати.
В. Рівняння Лагранжа.
Це рівняння має вигляд
(5.28)
Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо . Тоді
(5.29)
З (5.29) маємо
(5.30)
Д.Р. (5.30) лінійне по
(5.31)
Нехай - розв'язок Д.Р. (5.31). Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа запишемо в параметричній формі
(5.32)
Особливі розв'язки можуть бути там, де
(5.33)
тобто
(5.34),
де - корені рівняння (5.33).Розв'язок (5.34) може бути частинним або особливим.
Г. Рівняння Клеро.
Це рівняння - частинний випадок рівняння Лагранжа, коли .
(5.35)
Покладемо , тоді
(5.36)
Використовуючи , отримаємо
(5.37)
Рівняння (5.37) розпадається на два
(5.38)
Перше рівняння дає , підставляючи яке в (5.35) будемо мати загальний розав'язок
(5.39)
Друге - , разом з (5.35) утворює параметричні розв'язкі
(5.40)
Розв'язок (5.40) являється особливим, так як він співпадає з _______. Дійсно
звідки
(5.41)
Дискримінантна крива (3.41) співпадає з розв'язком (3.40).
Приклад 5.3.
Розв'язати рівняння Лагранжа .
Покладемо . Маємо ,
,
Отримали лінійне рівняння
Його розв'язок
(5.42)
(5.43)
загальний розв'язок нашого рівняння в параметричній формі. Або, виключаючи :
(5.44)
Знайдемо ті розв'язки, яким відповідають
Перший розв'язок - офівфісобливий, другий - частинний.
Приклад 5.4.
Це рівняння Клеро. Його загальний розв'язок -
Запишемо дискримінантну криву
Звідки - особливий розв'язок, так як через цей розв'язок проходить ще розв'язок, який міститься в загальному при .
4. Неповні рівняння.
а). Д.Р. які містять тільки похідну.
Це рівняння вигляду
(5.45)
Рівняння (5.45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв'язків.
(5.46)
де - деякі числа, задовільняючі функцію .
Інтегруємо (5.46)
(5.47)
Так як то
(5.48)
загальний інтеграл Д.Р. (5.45). Таким чином при таких припущеннях Д.Р. (5.45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді (5.48). При цьому в (5.48) можуть входити комплексні розв'язки Д.Р.
Приклад 5.5.
Розв'язати .
Згідно (5.48) - загальний інтеграл. Однак у нього крім дійсного розв'язку , входять розв'язки комплексного Д.Р.
б) Д.Р., які не містять шуканої функції мають вигляд
(5.49)
Якщо (5.49) можна розв'язати відносно похідної
(5.50)
то
(5.51)
являється загальним інтегралом Д.Р. (5.49).
Якщо ж розв'язати відносно не можна, а допускається параметризація
(5.52)
тобто
(5.53)
Тоді загальний розв'язок знаходять в параметричній формі
(5.54)
Якщо Д.Р. (5.49) має вигляд
(5.55)
тоді це рівняння легко параметризується .В частинному випадку . Загальний розв'язок запишеться в формі
(5.56)
Приклад 5.6.
Зайти загальний розв'язок рівняння .
Вводимо параметризацію .
, ,
Маємо
Загальний розв'язок в параметричній формі.
в) Д.Р., які не містятьнезалежної змінної.
Це рівняння вигляду
(5.57)
Якщо рівняння (5.57) розв'язане відносно , тобто
(5.58)
то
(5.59)
Являється загальним інтегралом Д.Р. (5.57). Особливими розв'язками можуть бути криві , де - корені рівняння (або ).
Якщо Д.Р. (5.57) не можна розв'язати відносно , але воно допускає параметризацію
(5.60)
то
(5.61)
Загальний розв'язок Д.Р. (5.57) в параметричній формі.
Приклад 5.7.
Розв'язати . Введемо параметризацію .
звідки
зашальний розв'язок нашого рівняння.
г) Узагальнено однорідні рівняння.
Д.Р. назвемо узагальнено однорідним, якщо ліва частина являється однорідною функцією аргументів , яким відповідають величини -го, -го і виміру, тобто
(5.62)
Зробимо заміну
(5.63)
де - нова незалежна змінна, - нова шукана функція. Маємо
тобто . З іншої сторони
(5.64)
Підставимо (5.63),(5.64) в Д.Р. (5.1)
отримане рівняння
(5.65)
не містить незалежної змінної .
Loading...

 
 

Цікаве