WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної - Реферат

Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної - Реферат

Реферат на тему:
Диференціальні рівняння першого порядку,
не розв'язані відносно похідної.
1. Основні поняття і означення, теорема про достатні умови існування і єдності розв'язку.
Диференціальне рівняння першого порядку, не розв'язані відносно похідної має вигляд
(5.1)
Найбільш часто зусрічаються диференціальні рівняння першого порядку -ої степені.
Означення 5.1. Функція , визначена і
(5.2)
неперервнодиференційовна на називається розв'язком Д.Р. (5.1), якщо вона після підстановки перетворює Д.Р. (5.1) в
тотожність
Означення 5.2. Будемо говорити, що рівняння визначає розв'язок Д.Р.(5.1) в нормальній формі, якщо воно визначає як функцію і вона являється розв'язком Д.Р.(5.1).
Означення 5.3. Рівняння , , , визначає розв'язок Д.Р.(5.1) в параметричній формі, якщо
Криві на ел. , які відповідають розв'язкам, будемо називати
Задача Коші - задача знаходження розв'язків, які задовільняють умови .
Означення 5.4. Говорять, що задача Коші для Д.Р.(5.1) з початковими умовами має єдиний розв'язок, якшо через в достатньо малому околі її проходить стільки , скільки напрямків поля визначає Д.Р. в цій точці. В противному - не єдиний розв'язок.
Теорема 5.1. (про існування і єдиність розв'язку задачі Коші).
Якщо функція задовільняє наступним умовам:
а) Являється визначеною і неперервною разом зі своїми ЧП в деякому замкненому околі т. ;
б) ;
в) ;
то Д.Р.(1) має єдиний розв'язок , визначений і неперервно диференційовний в околі т , задовільняючий умови і такий, що
? Без доведення ?
Припустимо, що розв'язуючи Д.Р.(1) відносно , ми знайдемо дійсні розв'язки
(5.3)
де визначені в обл. так, що маємо Д.Р. першого порядку, розв'язаних відносно . Припустимо, що в точці , напрямок поля, визначений кожним Д.Р. (5.3), різний. Так що різних рівнянь не можуть дотикатися друг друга на .
Нехай кожне Д.Р. (5.3) на має загальний інтеграл
(5.4)
Означення 5.5. Сукупність інтегралів (5.4) будемо називати загальним інтегралом Д.Р. (5.1) в обл. .
Інколи замвсть співвідношення (5.4) записують
(5.5)
Якщо поле на не задовільняє сказаному вище, тобто існує хоча б одна точка , в якій значення хоча б двох функцій співпали, то відповідаючі Д.Р. дотикаються друг друга в точці . Тому крім Д.Р. (5.3), будуть ще склеєні . Всі вони будуть входити в (5.4) або (5.5).
В загальному випадку Д.Р. (5.1) не удається розв'язати відносно в елементарних функціях. В цих випадках шукають однопараметричне сімейство в вигляді
(5.6)
яке називається загальним інтегралом Д.Р. (5.1).
Якщо сімейство задано в вигляді
(5.7)
то воно називається загальним розв'язком Д.Р. (5.1)
Зауважимо, що в (5.6) можуть входити і розв'язки Д.Р. виду (5.3), коли -комплексні. Ми таких Д.Р. не будемо розглядати, тому відповідні їм розв'язки треба виключати.
Сімейство , заданих в параметричному вигляді
(5.8)
будемо називати загальними розв'язками Д.Р. в параметричній формі.
Означення 5.6. Розв'язок Д.Р. (5.1) будемо називати частинним розв'язком, якщо в кожній його точці задача Коші має єдиний розв'язок.
Означення 5.7. Розв'язок називається особливим розв'язком, якщо в кожній його точці порушується єдинність розв'язку задачі Коші.
Аналогічно Д.Р., розв'язаним відносно , Д.Р. (5.1) може мати розв'язки, які являються ні частинними, ні особливими.
Аналіз частинних і особливих розв'язків для цих рівнянь більш складний. Зауважимо, що в випадку (5.3) розв'язок буде особливим, якщо буде особливим хоча б для одного з Д.Р. (5.3).
Приклад 5.1.
(5.9)
З (5.9) маємо:
Тоді - загальний інтеграл.
або . Цей загальний інтеграл є накладенням сімейств двох (мал. 5.1).
Розв'язок задачі Коші для Д.Р. (5.9) в кожній точці площіни являється єдиним. В точці ми маємо два напрямки поля: ; І через цю точку проходить два
, якщо (5.11)
і , якщо .
Розв'язки (10),(11) - частинні розв'язки. Особливих розв'язків немає.
2. Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв'язок.
Припустимо, що Д.Р. (5.1) представлено в формі (5.3). При досліджені на особливий розв'язок рівнянь виду (5.3) ми прийшли до висновку, що ці розв'язки можливі на тих кривих, на яких являється необмеженою. Але в переході від Д.Р. (5.1) до рівнянь (5.3) є недоцільність при визначені особливих розв'язків, так як .
Дійсно, припустимо, що _____ похідні , тоді
, звідки (5.12).
Припустимо, що , тоді буде необмеженою при умові
(5.13)
Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв'язок будуть визначатися з системи
(5.14)
Розв'язок системи (5.14)
=0 (5.15)
дискримінантна крива. Якщо вона задовільняє Д.Р. (5.1) і в кожній точці порушується єдність, то це буде особливий розв'язок.
Приклад 5.2.
(5.16)
, (5.17)
Співвідношення (5ю17) - дискримінантна крива рівняння (5.16). А на ній ми маємо не два а один напрямок поля . В той же час - через неї може проходити не одна .
5.3. Загальний метод введення параметра.
Розглянемо Д.Р. (5.1). Припустимо, що воно допускає параметризацію
(5.18)
Так, що при всіх значеннях параметрів і .
Використовуючи (5.18) і
Loading...

 
 

Цікаве