WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціальні рівняння першого порядку, розвязані відносно похідної - Реферат

Диференціальні рівняння першого порядку, розвязані відносно похідної - Реферат

на області D, яке залежить від одного параметра С. Якщо будь-яка крива із F є інтегральною кривою диференціального рівняння (2.3) і всі криві із F в сукупності покривають D, то F є розв'язком диференціального рівняння (2.3) в області D (рис. 2.3).
Рис. 2.3
Для розв'язування задачі Коші константу С
можна знайти згідно
. (2.18)
Інколи в формулі (2.17) роль С грає у0, тоді говорять, що розв'язок представлений у формі Коші
. (2.19)
Приклад 2.2. Знайти розв'язок диференціального рівняння
у формі Коші.Загальний розв'язок В указаній області виконуються умови теореми Пікара. Звідки
- розв'язок в формі Коші.
В більшості випадків при інтегруванні диференціального рівняння (2.3) ми отримуємо загальний розв'язок в неявній формі
(або , (2.20)
який називається загальним інтегралом диференціального рівняння (2.3).
Означення 2.9.?Будемо називати співвідношення (2.20) загальним розв'язком в неявній формі або загальним інтегралом в області D, якщо співвідношенням (2.20) визначається загальний розв'язок (2.17) диференціального рівняння (2.3) в області D.
З означення випливає, що (2.18) - загальний інтеграл диференціального рівняння (2.3) в області D.
Інколи при інтегруванні отримуємо сімейство інтегральних кривих, залежне від С, в параметричній формі.
(2.21)
Таке сімейство інтегральних кривих будемо називати загальним розв'язком диференціального рівняння (2.3) в параметричній формі.
Якщо в (2.21) виключити t, то отримаємо загальний розв'язок в неявній або явній формі.
4. Частинні і особливі розв'язки. Знаходження кривих, підозрілих на особливість розв'язку, по диференціальному рівнянню
Означення 2.10.?Розв'язок, який складається з точок єдиності розв'язку задачі Коші називається частинним і його можна отримати з загального при фіксованому С.
Розв'язок задачі Коші, який задовольняє теоремі Пікара, є частинний розв'язок.
Означення 2.11.?Розв'язок, в кожній точці якого порушується єдиність розв'язку задачі Коші, будемо називати особливим.
Геометрично особливому розв'язку відповідають інтегральні криві, які не містяться в загальному розв'язку. Тому особливий розв'язок не може існувати всередині області D існування загального розв'язку. Його не можна отримати з формули загального розв'язку ні при яких числових значеннях С, включаючи . Його можна отримати з загального розв'язку лиш при .
Існують ні частинні ні особливі розв'язки. Їх можна отримати шляхом склеювання кусків частинних і особливих розв'язків.
Рис. 2.4
Приклад 2.3.?Знайти особливий розв'язок диференціального рівняння
,
.
Отримали загальний розв'язок в області , в якій виконуються умови теореми Пікара. Але розв'язком буде , який ми отримуємо при . Він не міститься в загальному розв'язку при жодному фіксованому С. Отже, згідно означення - особливий розв'язок.
Якщо неперервна на D, то умови підозрілі на особливий розв'язок : необмеженість похідної . Знайшовши таку криву в подальшому треба переконатися :
1) ?вона являється інтегральною кривою;
2) ?перевірити, що в кожній її точці порушується єдиність розв'язку.
В прикладі 2.2.? при . Поскільки - розв'язок і через нього проходять інтегральні криві з загального розв'язку, то - особливий розв'язок.
Приклад 2.4.?Розглянемо диференціальне рівняння
при . Але не є розв'язком диференціального рівняння, тому і не є особливим розв'язком.
Припустимо, що диференціальне рівняння має однопараметричне сімейство інтегральних кривих . Тоді, якщо це сімейство має обвідну, тобто лінію, яка в кожній точці дотикається сімейства і ні на якому участку не співпадає ні з одною кривою сімейства. Ця обвідна і буде особливим розв'язком. Дійсно через довільну її точку проходить по крайній мірі два розв'язки : обвідна і сам розв'язок.
5. Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.
Нехай
(2.22)
загальний розв'язок загального диференціального рівняння (2.3) в області D, в якій виконуються умови теореми Пікара. Тоді на D рівняння (2.22) можна розв'язати відносно С
. (2.23)
Функція приймає постійні значення на довільному частинному розв'язку з D, причому значення постійної визначається частинним розв'язком
. (2.24)
Означення 2.12.?(перше означення інтегралу)?Функція , визначена на D і яка не зводиться до константи, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо на довільному частинному розв'язку з D, ця функція приймає постійні значення.
Припустимо, що - диференційовна функція. Тоді на довільному частинному розв'язку
(2.25)
або
(2.26)
При цьому на D так як в противному . А це означає, що поле диференціального рівняння (2.3) в відповідній точці не задано.
Означення 2.13.?(друге означення інтегралу).?Функція , визначена і неперервна з частинними похідними в області D і така, що в області D, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо повний її диференціал, взятий в силу диференціального рівняння (2.3), тотожньо дорівнює нулю в області D.
З (2.26) випливає, що
(2.27)
Функція, яка є інтегралом в смислі означення 2.12 буде інтегралом і в смислі означення 2.13. Навпаки не завжди так.
Якщо диференціальне рівняння (2.3) має один інтеграл, то воно має безліч інтегралів.
Теорема 2.1.?(про загальний вигляд інтегралу)?Якщо інтеграл диференціального рівняння (2.3) в області D і функція диференційовна в D, а - довільна функція визначена і неперервно-диференційовна в області зміни функції коли , то
(2.28)
є інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D.
Доведення.
,
причому в області D. Маємо
(2.29)
З (2.29) випливає, що - інтеграл диференціального рівняння (2.3) згідно означення.
Теорема 2.2.?(про залежність двох інтегралів)?Нехай два інтеграли диференціального рівняння (2.3). Тоді існує неперервно диференційовна функція F, що
. (2.30)
Доведення.?Поскільки інтеграли, то
(2.31)
З (2.31) випливає, що
. (2.32)
Формально (2.32) можна отримати визначаючи dy з одного рівняння системи (2.31) і підставляючи в друге рівняння. З функціонального аналізу відомо, що з умови (2.32) витікає (2.30).
Loading...

 
 

Цікаве