WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)(пошукова робота) - Реферат

Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)(пошукова робота) - Реферат

довільна стала. Позначимо інтеграл, що фігурує справа, через : . Інтегруючи двічі частинами, отримаємо
,
а функцію визначимо за допомогою рівності
.
Отже, сила струму визначається виразом
.
12.5. Рівняння Бернуллі
Диференціальне рівняння виду
, (12.24)
в якому неперервні функції, а число відмінне від
нуля та одиниці, називається рівнянням Бернуллі (при
маємо лінійне рівняння, а при - рівняння з відокремлюваними
змінними).
Покажемо, що рівняння Бернуллі зводиться до лінійного диференціального рівняння першого порядку. Для цього поділимо ліву й праву частини рівняння (12.24) на :
та виконаємо заміну змінної . Оскільки
,
диференціальне рівняння Бернуллі перетворюється на рівняння
яке є лінійним. Проінтегрувавши йогоодним з описаних раніше способів і повернувшись від до попередньої змінної , можна отримати розв'язок рівняння Бернуллі.
Зауважимо, що зручніше розв'язувати рівняння Бернуллі, не зводячи його до лінійного, за допомогою підстановки , тобто так само, як і лінійне неоднорідне рівняння.
Покажемо це на прикладі.
Приклад . Розв'язати рівняння Бернуллі
.
Р о з в ' я з о к. Будемо шукати невідому функцію у вигляді. . Підстановка цієї функції у рівняння приводить до рівності або
.
Функцію знайдемо із співвідношення , яке отримується, якщо вираз у дужках прирівняти до нуля: . Відносно отримується рівняння з відокремлюваними змінними
, загальний інтеграл якого буде таким:
,
де довільна стала. Отже, відповідь
.
12.6. Рівняння в повних диференціалах.
Інтегруючий множник
Означення. Диференціальне рівняння вигляду
(12.25)
називається рівнянням у повних диференціалах, якщо - неперервні диференційовані функції, для яких
виконується співвідношення
, (12.26)
причому та - також неперервні функції.
Покажемо, що коли ліва частина рівняння (12.25) є повним диференціалом деякої функції , то виконується умова (12.26), і навпаки, з виконання умови (12.25) випливає, що ліва частина рівняння (12.25) - повний диференціал (вперше цю умову отримав член Петербурзької академії наук Л.Ейлер (1707-1783)).
Справді, нехай зліва у рівнянні (12.25) стоїть повний диференціал, тобто .
Оскільки
,
маємо
Тоді частинні похідні та визначаються за формулами
.
Оскільки зліва в цих рівностях згідно з умовою записані неперервні функції, то це означає, що й праві частини, тобто та
, також неперервні. Звідси випливає, що , що й доводить рівність (12.26).
Припустимо тепер, що умова (12.26) виконується, і знайдемо функцію , завдяки якій диференціальне рівняння (12.25) можна подати у формі
(12.27)
Оскільки , то інтегруючи, маємо
(12.28)
де - абсциса будь-якої точки в області існування розв'язку, а - поки що невідома функція, яка залежить лише від . Знайдемо похідну , користуючись формулою (12.28):
(12.29)
Враховуючи, що і користуючись умовою (12.26) для заміни підінтегральної функції, з (12.29) отримуємо
.
Отже, або
.
Звідси , або ,
де - довільна стала. Підставляючи знайдену функцію у вираз (12.28), отримаємо
.
Це дозволяє записати загальний розв'язок рівняння (12.25) (або те ж саме рівняння (12.27)) у вигляді:
- довільна стала.
Зауваження. На практиці зручніше продиференціювати
рівність (12.28) за , потім замінити відомою функцією , а далі - визначити та .
Приклад . Розв'язати рівняння
Р о з в ' я з о к. Позначимо
і переконаємося, що це - рівняння в повних диференціалах. Справді, частинні похідні і рівні між собою:
Отже, умова (12.26) виконується. Для знаходження функції про інтегруємо рівність .
Маємо .
Звідси визначимо похідну: та прирівняємо її до відомої функції :
.
Отже, і, ,
де - довільна стала.
Функцію знайдено:
.
Загальний інтеграл рівняння має вигляд .
Розглянемо питання про можливість зведення рівняння виду (12.25), для якого не виконується умова (12.26), до рівняння в повних диференціалах. Домножимо обидві частини рівняння (12.25) на деяку функцію таку, що рівняння
(12.30)
буде рівнянням у повних диференціалах. Згідно з доведеним для цього необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність, аналогічна рівності (12.26):
,
або
.
Зведемо подібні члени
.
Поділивши обидві частини цього рівняння на та врахувавши, що , отримаємо
(12.31)
Це рівняння в частинних похідних відносно . Розв'язати його - це завдання не простіше, ніж інтегрування вихідного рівняння. Розглянемо два частинні випадки, коли рівняння (12.31) спрощується і його можна розв'язати.
1) Нехай шуканий інтегральний множник залежить лише від : .
Тоді , і рівняння (12.31) набуває вигляду
(12.32)
Якщо права частина цього рівняння не залежить від , то воно легко інтегрується.
2) Якщо інтегральний множник є функцією тільки від : , то , а .
Тоді рівняння (12.31) можна подати таким чином:
(12.33)
Якщо вираз справа залежить лише від , рівняння (12.33) інтегрується.
Приклад 2. Розв'язати рівняння . Зауважимо, що в розглянутому випадку .
Р о з в ' я з о к. Знайшовши частинні похідні
переконуємося, що умова (12.26) не виконується.
Спробуємо підібрати інтегральний множник виду . Рівняння (12.32) набуває вигляду
.
Вираз у правій частині останньої рівності залежить і від , і від . Отже, інтегрального множника вигляду не існує.
Припустимо, що , і складемо рівняння (12.33):
.
Оскільки вираз у правій частині цієї рівності залежить від , рівняння інтегрується. Знайдемо один з його частинних розв'язків:
, звідки . Перевіримо, чи множник знайдено правильно. Для цього домножимо обидві частини вихідного рівняння на та переконаємося, що коефіцієнти отриманого рівняння задовольнятимуть умові (12.26). Маємо
.
Тоді
і, отже, інтегральний множник було знайдено правильно (оскільки (12.26) - рівняння в повних диференціалах). Знайдемо функцію . Оскільки
то , або
.
Продиференціюємо по та прирівняємо цю похідну до :
.
Отже, і .
Тоді
,
і загальний інтеграл рівняння має вигляд
Loading...

 
 

Цікаве