WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції(пошукова робота) - Реферат

Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції(пошукова робота) - Реферат

узагальненням означення дотичної (прямої) до кривої (рис. 6.7).
Нехай - точка даної поверхні. Розглянемо на поверхні другу, змінну точку і проведемо січну пряму .
Площина, що проходить через точку , називається дотичною площиною до поверхні в точці , якщо кут між січною і цією площиною прямує до нуля, коли віддаль прямує до нуля, яким би чином точка на поверхні не прямувала б до точки .
Нормаллю до поверхні в точці називається пряма, що проходить через точку перпендикулярно до дотичної площини до поверхні в цій точці.
Рівняння дотичної площини і нормалі. У поверхні, заданої рівнянням , де - функція, диференційована в точці , дотична площина в точці існує і має рівняння
. (6.56)
За рівнянням дотичної площини до поверхні в точці легко записати рівняння нормалі:
. (6.57)
Геометричний зміст повного диференціала. Нехай функція диференційована в точці . Це означає, щоповерхня, задана рівнянням , має в точці дотичну площину (рис. 6.8). Її рівняння (6.56),
Рис.6.7 Рис.6.8
поклавши ; , можна записати у вигляді
.
У цьому рівнянні зліва стоїть різниця аплікат точок дотичної площини, відповідних точкам і , а справа - повний диференціал функції в точці .
Отже, повний диференціал функції в точці геометрично означає приріст аплікати дотичної площини до поверхні, яка зображує функцію, в точці при переході із точки в точку .
Інваріантна форма запису диференціала. За означенням, для диференційованої в точці функції двох незалежних змінних
.
Покладемо, зокрема, (тобто ), одержимо Отже, . Аналогічно, поклавши , одержимо . Таким чином, диференціали незалежних змінних співпадають з приростом цих змінних, і ми можемо записати диференціал функції у вигляді
,
або, що те саме,
.
Нехай де і - складні функції незалежних змінних і . Допустимо, що функції і диференційовані в точці , а функція диференційована в точці , де , . Тоді складна функція буде диференційована в точці . При цьому, згідно з (6.58),
.
Застосувавши правила для обчислення частинних похідних
складної функції (формули 6.47), одержимо
Оскільки в дужках стоять повні диференціали функцій , , маємо:
.
Отже, і у випадку, коли та - незалежні змінні, і у випадку, коли та - незалежні змінні, диференціал функції можна записати у формі
.
У зв'язку з цим така форма запису повного диференціала називається інваріантною.
Форма запису повного диференціала
не буде інваріантною, вона може використовуватися лише, якщо і - незалежні змінні, оскільки у противному разі , .
6.7. Диференціювання параметрично заданих функцій
Означення. Задання функціональної залежності між і у вигляді двох функцій від тієї самої допоміжної змінної називається параметричним заданням функції. Допоміжна змінна при цьому називається параметром.
Виведемо формулу для похідної від функції, заданої параметрично. Припустимо, що функції, заданої параметрично. Припустимо, що функції і диференційовані в кожній точці інтервалу і для цих значень функція така, що похідна від неї не дорівнює нулю, .
Тоді для кожної функції існують диференціали , звідки
, (6.59)
або
.
Приклад. Знайти похідну від функції, яка задана параметрично, , .
Р о з в ' я з о к. Знайдемо і :
,
;
.
6.8. Неявні функції, їх диференціювання
Розглянемо випадок неявної функції від однієї незалежної змінної . Нехай дано рівняння .
Припустимо, що це рівняння визначає єдину і при цьому диференційовану функцію аргументу . Для цього повинні виконуватись певні умови, доведення яких опускається.
Теорема. (теорема існування неявної функції). Нехай:
1) функція означена і неперервна разом із своїми частинними похідними та в деякому околі точки ;
2) в точці дорівнює нулю:
;
3) в точці відмінна від нуля: .
Тоді
1) в деякому прямокутнику
рівняння визначає як однозначну функцію від : ;
2) при ця функція набуває значення :
;
3) на інтервалі функція неперервна і має неперервну похідну.
Знайдемо цю похідну. Оскільки у вказаному інтервалі , то для будь-якої її точки або, що те саме, , де .
Обчислюючи повну похідну, маємо
,
звідки
. (6.61)
Приклад. Знайти похідну функції .
Р о з в ' я з о к.
.
Нехай задано рівняння
(6.62)
і при цьому виконуються умови, аналогічні умовам 1) - 3). Можна
довести, що рівняння (6.62) визначає в деякому околі точки площини єдину і питому диференційовану функцію , яка набуває значення при , .
Частинні похідні такої функції обчислюються за формулами:
; . (6.63)
Розглянемо деякі застосування теорії неявних функцій. Нехай плоска крива задана рівнянням в точці записується у вигляді
. (6.64)
Рівняння нормалі до кривої в точці записується у вигляді
. (6.65)
Нехай поверхня задана рівнянням . Візьмемо в ній точку .
Рівняння дотичної площини до поверхні в точці записується у вигляді
(6.66)
Рівняння нормалі до тієї самої поверхні в точці має вигляд
. (6.67)
Приклади.
1. Знайти рівняння дотичної і нормалі до еліпса в точці .
Р о з в ' я з о к. Тут ; ; функції, неперервні скрізь.
Оскільки , крива має в цій точці дотичну і нормаль. Їх рівняння:
дотичної ;
нормалі .
2. Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці .
Р о з в ' я з о к. Тут ; ;
, - функції, неперервні скрізь, , отож, в точці можна провести дотичну площину і нормаль до поверхні.
Рівняння:
дотичної площини ;
нормалі .
Loading...

 
 

Цікаве