WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції(пошукова робота) - Реферат

Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції(пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота на тему:
Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції. Повний диференціал функції декількох змінних. Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні. Неявні функції , їх диференціювання.
План
" Диференціал функції.
" Геометричний зміст диференціала.
" Лінеаризація функції.
" Диференціал складної функції.
" Повний диференціал функції декількох змінних.
" Достатні умови диференційованості функції.
" Рівняння дотичної площини до поверхні і нормалі.
" Інваріантність форми диференціала.
" Диференціювання функцій, заданих параметрично.
" Неявні функції, їх диференціювання.
1. Диференціал функції
1.1 Означення диференційованої функції
Означення. Функція називається диференційованою в точці , якщо її приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:
(6.48)
де - число, а прямує до нуля, коли приріст прямує до нуля.
Означення. Функція називається диференційованою в точці , якщо її повний приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:
(6.49) де
- числа; і - нескінченно малі при (при ).
Теорема. Для того щоб функція в точці була диференційованою, необхідно і достатньо, щоб для неї в цій точці існувала скінчена похідна . При виконанні цієї умови рівність (6.48) має місце, коли стала дорівнює саме цій похідній:
(6.50)
Наслідок. Якщо функція в точці має (скінчену) похідну, то в цій точці функція необхідно неперервна.
Дійсно, із (6.50) зрозуміло, що з умови випливає .
Для функції двох змінних умова диференційованості жорстокіша, ніж існування частинних похідних в точці.
Теорема (необхідна умова диференційованості). Функція диференційована в точці , неперервна в цій точці і має в ній частинні похідні за обома змінними.
Теорема (достатня умова диференційованості). Якщо функція має частинні похідні за змінними і якщо ці частинні похідні неперервні в цій самій точці , то функція диференційована в цій точці.
Зауваження. Функція (всякого числа змінних), диференційована в кожній точці деякої області, називається диференційованою в цій області.
1.2 Диференціал
Диференціал функції однієї змінної . Зазначимо, що доданки в рівності (6.50) відіграють неоднакову роль. Так, другий додаток при є величина вищого порядку малості, ніж ,
тоді як перший доданок , якщо і , є величина одного порядку малості з . Крім того, другий доданок в рівності (6.50) при і є величина вищого порядку малості, ніж перший,
Отже, перший доданок в рівності (6.50) є головною частиною приросту функції.
Означення. Добуток називається диференціалом функції в точці і позначається символом або ,
, . (6.51)
Диференціалом аргументу називається його приріст, тобто вважають . Тоді формула для диференціала функції набирає вигляду
,
або
(6.52)
Користуючись співвідношенням (6.52), складемо таблицю для диференціалів від елементарних функцій:
1. , .
2. , .
3. , .
4. , .
5. , .
6. , .
7. , .
8. , .
9. , .
10. , .
11. , .
12. , .
13. , .
14. , .
15. , .
16. , .
17. , .
18. , .
Властивості диференціала. Якщо і - диференційовані функції, то безпосередньо із визначення диференціала і властивостей похідних маємо такі властивості диференціала:
1) ( ),
2) ,
3) ,
4) .
Геометричний зміст диференціала. Нехай графік диференційованої функції має вигляд, зображений на рис. 6.6 (крива ).
Візьмемо на кривій точки і . У точці проведемо дотичну до кривої . Тоді з трикутника знайдемо довжину відрізка :
або
. (6.53)
Рівність (6.53) і характеризує геометричний зміст диференціала: диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної до графіка цієї функції в розглядуваній точці.
Рис.6.6
Механічний зміст диференціала. Припустимо, що матеріальна точка рухається за відомим законом
де - диференційована функція при деякому значенні часу . Тоді функція має диференціал
,або .
Добуток виражає шлях, який точка проходить за час , рухаючись із сталою швидкістю .
Отже, механічне тлумачення диференціала функції таке: диференціал функції виражає той шлях, який точка пройшла б за час , якби вона рухалася прямолінійно і рівномірно зі сталою швидкістю .
6.6.3. Повний диференціал функції двох змінних
Означення повного диференціала. Нехай функція в деякій області неперервна і має частинні похідні та .
Виберемо в цій області довільну точку . Надамо приросту обом аргументам, тобто візьмемо точку
. Для приросту
одержуємо такий вираз:
(6.54)
При і останні два доданки є нескінченно малими вищого порядку, оскільки і . Перших два доданки складають головну частину у виразі повного приросту .
Означення. Головна, лінійна відносно і частина приросту функції називається повним диференціалом функції двох змінних і позначається або :
. (6.55)
(Легко бачити, що це означення приводить до введеного вище поняття диференціала функції однієї змінної, якщо замість розглядати функцію ).
Приклад. Знайти повний диференціал функції .
Р о з в ' я з о к.
В будь-який точці .
Зауваження. Означення повного диференціала легко узагальнюється на випадок диференційованої функції будь-якого числа змінних.
Повним диференціалом функції в даній точці називається головна, лінійна відносно приросту всіх аргументів частина повного приросту функції.
Приклад. .
Р о з в ' я з о к.
В будь-які й точці
.
Означення дотичної площини і нормалі до поверхні. Є кілька еквівалентних між собою означень дотичної площини до поверхні. Ми дамо означення, яке є природним
Loading...

 
 

Цікаве