WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних(пошукова робота) - Реферат

Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних(пошукова робота) - Реферат

для функцій і виконуються умови:
1) функції визначені на півінтервалі і
;
2) в інтервалі диференційовані, причому для всіх ;
3) існує (скінчена або нескінченна ) границя
.
Тоді існує границя відношення при і ця границя дорівнює теж числу , тобто
.
Висновок цієї теореми читають ще так: границя відношення функції дорівнює границі відношення похідних від цих функцій.
Наведену теорему називають першим правилом Лопіталя.
Зауваження 1. Може статися, що поряд з рівностями виконуються рівності
Нехай
тоді, застосовуючи двічі доведену теорему, дістаємо таку рівність:
Взагалі цей спосіб можна застосовувати доти, поки не прийдемо до відношення яке має при певну границю. Тоді
У цьому випадку кажуть, що правило Лопіталя використовується разів.
Зауваження 2. Теорема 1 при виконанні її умов справджується і тоді, коли точка є невласною, тобто . У цьому випадку
Справді, застосувавши підстановку ,маємо
Сформулюємо другу теорему Лопіталя, яка стосується розкриття невизначеності виду
Теорема 2. Нехай для функцій і виконуються умови:
1) функції визначені на півінтервалі і при цьому
2) функції диференційовані в інтервалі причому
3) існує ( скінчена або нескінченна) границя
Тоді
.
Зауваження 3. Крім невизначеностей є ще й інші невизначеності: Проте всі вони зводяться до невизначеності або
Справді, нехай, наприклад, маємо невизначеність Інакше кажучи, нехай маємо функції і такі, що Тоді добуток можна зобразити у вигляді частки:
Отже, у правій частині ми маємо невизначеність виду
Якщо маємо невизначеність , тобто і то різницю можна записати:
отже, в правій частині маємо невизначеність виду
Якщо маємо степінь і тобто невизначеність виду , то її розкривають так.
Припускаючи, що , вираз має вигляд
У показнику при маємо невизначеність виду , яка (це було показано вище) зводиться до невизначеності . Аналогічно невизначеності розкриваються невизначеності , .
Приклади. Користуючись теоремами Лопіталя, знайти границі функцій:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8.
Р о з в ' я з о к. Перевіримо виконання умов теорем Лопіталя для першого прикладу. Для прикладів пропонуємо умови теорем перевірити самостійно.
1. Нехай . Розглядатимемо пів інтервал , де - довільне число. Тоді . Знаходимо похідні за будь-якого , а потім
.
Отже, виконуються всі три умови першої теореми Лопіталя. Тому
.
2. Маємо невизначеність виду . Використавши першу теорему Лопіталя, одержимо
.
3. Маємо невизначеність виду , тому використовуємо другу теорему Лопіталя:
.
4. Маємо невизначеність виду . Зводимо її до невизначеності . Для цього запишемо у вигляді
.
Отже, дістали невизначеність . Тому
.
5. Маємо невизначеність . Запишемо добуток
так: . Дістали невизначеність . Тому
Під знаком границі в правій частині останньої рівності знову маємо випадок, коли чисельник і знаменник прямують до , тобто маємо ту саму невизначеність . Застосувавши раз друге правило Лопіталя, дістаємо
6. Маємо невизначеність . Тоді
Знайдемо границю показника:
тому
7.Маємо невизначеність виду . Запишемо даний вираз:
. Дістали невизначеність .
Отже,
.
8. Маємо невизначеність виду . Запишемо даний вираз:
.
Знайдемо границю показника:
.
Отже,
6.14. Формула Тейлора
6.14.1. Формула Тейлора для многочлена
Нехай задано многочлен
де - довільні дійсні числа, які називаються коефіцієнтами многочлена.
Виразимо коефіцієнти даного многочлена через значення многочлена та його похідні.
З цією метою будемо послідовно диференціювати многочлен. Матимемо
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Підставляючи в ці рівності , дістаємо
. . . . . . . . . .
Тоді многочлен набуде вигляду
(6.76)
Може трапитися, що многочлен буде записаний за степенями різниці , де - довільне дійсне число:
- дійсні числа. Тоді многочлен можна записати так:
(6.77)
Формулу (6.77) називають формулою Тейлора для многочлена.
6.14.2. Формула Тейлора для довільної функції
Візьмемо довільну функцію , яка в околі деякої точки і в самій точці має похідні до -го порядку включно.
Тоді для такої функції можна побудувати многочлен
(6.78)
Цей многочлен називається многочленом Тейлора для функції
Розглянемо таку різницю:
Оскільки залежить від то й залежить від
Тоді
або
(6.79)
Формула (6.79) називається формулою Тейлора для функції а функція - залишковим членом формули Тейлора.
Отже, формула Тейлора (6.79) відрізняється від формули Тейлора (6.77) для многочлена тим, що вона містить залишковий член Виразимо через похідну -го порядку від функції
Теорема. Якщо в деякому околі, наприклад, на відрізку точки має неперервні похідні до -го порядку включно, то залишковий член у формулі Тейлора можна записати у вигляді
(6.80)
де
Формула (6.79) записується тепер у вигляді
(6.81)
і справедлива для будь-якого
Формула (6.81) називається формулою Тейлора із залишковим членом виду Лагранжа. Якщо в цій формулі покласти , то матимемо так звану формулу Маклорена
(6.82)
Враховуючи вирази для диференціалів різних порядків функції можна записати формулу (6.81) в диференціальній формі:
(6.83)
6.14.3. Формула Тейлора для функції двох змінних
Нехай функція має в околі точки неперервні частинні похідні до -го порядку включно. Формулу Тейлора зручно записати в диференціальній формі:
(6.84)
де
Аналогічний вигляд має формула Тейлора для функції більшого числа змінних.

 
 

Цікаве

Загрузка...