WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Властивості степеневих рядів. Неперервність суми. Інтегрування і диференціювання(пошукова робота) - Реферат

Властивості степеневих рядів. Неперервність суми. Інтегрування і диференціювання(пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота на тему:
Властивості степеневих рядів. Неперервність суми. Інтегрування і диференціювання степеневих рядів.
План
" Властивості степеневих рядів
" Неперервність суми
" Інтегрування степеневих рядів
" Диференціювання степеневих рядів
1. Властивості степеневих рядів
Теорема 1 (неперервність суми степеневого ряду). Сума степеневого ряду (13.39) є неперервною всередині проміжку збіжності.
Д о в е д е н н я. Візьмемо деяке додатне Тоді числовий ряд з додатними членами
(13.49)
збігається. Але при члени ряду (13.39) за абсолютною величиною не більші відповідних членів ряду (13.49). Тому, за ознакою Вейєрштрасса, ряд (13.39) рівномірно збігається на відрізку і його сума буде неперервною на цьому відрізку.
Наслідок. Якщо границі інтегрування , лежать всередині інтервалу збіжності степеневого ряду , то за теоремою 3 (п.13.9.3) його можна почленно інтегрувати на проміжку , оскільки він буде рівномірно збігатися на , що містить проміжок ( ).
Теорема 2 (диференціювання степеневих рядів). Якщо степеневий ряд (13.39)
має інтервал збіжності , то ряд
(13.50)
одержаний почленним диференціюванням ряду (13.39), має той же інтервал збіжності ; при цьому сума ряду (13.50) де сума ряду (13.39).
Д о в е д е н н я. Доведемо, що ряд (13.50) рівномірно збігається на відрізку який повністю лежить всередині інтервалу збіжності.
Для цього візьмемо деяку точку таку, що В цій точці ряд (13.39) збігається, значить а тому можна вказати таке постійне число що . Якщо то
де
Таким чином, члени ряду (13.50) при за абсолютною величиною менші за члени числового ряду з додатними членами:
За ознакою Даламбера цей ряд збігається:
Отже, ряд (13.50) рівномірно збігається на відрізку і за теоремою 4 (п.13.9.3) його сума є похідна від суми даного ряду на відрізку , тобто
Оскільки довільну внутрішню точку інтервалу можна помістити в деякий відрізок то звідси випливає, що ряд (13.50) збігається в довільній внутрішній точці інтервалу
Доведемо тепер, що ряд (13.50) розбігається поза інтервалом Припустимо, що ряд (13.50) збігається при деякому Інтегруючи йогопочленно в інтервалі де ми одержали б, що ряд (13.39) збігається в точці а це протирічить умовам теореми. Таким чином, інтервал є інтервал збіжності ряду (13.50). Теорема повністю доведена.
Ряд (13.50) знову можна почленно диференціювати і продовжити так як завгодно багато разів. Отже, одержимо висновок:
Наслідок. Якщо степеневий ряд збігається в інтервалі то його сума представляє собою функцію, що має всередині інтервалу збіжності похідні довільного порядку, кожна з яких є сумою ряду, одержаного в результаті почленного диференціювання даного ряду відповідне число разів; при цьому інтервал збіжності кожного ряду, одержаного в результаті диференціювання, є той же інтервал
Приклад 1. Знайти інтервали збіжності степеневих рядів.
а) ; б) .
Р о з в ' я з о к. а) Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду за формулою (13.44)
.
Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу, тобто при
При : розбігається, тому що
При : розбігається (не виконується
необхідна умова збіжності). Отже, ряд збігається при
б) За формулою (13.45) знаходимо радіус збіжності
При : .
Оскільки
, то
знакочергуючий ряд розбігається.
При : розбігається (не виконується
необхідна ознака збіжності. Інтервал збіжності даного ряду
Приклад 2. Знайти суму ряду
Р о з в ' я з о к. Позначимо суму цього степеневого ряду через Радіус збіжності даного ряду а інтервал збіжності Продиференціюємо почленно його два рази (наслідок теореми 2) :
Останній ряд рівномірно збігається всередині проміжку і представляє собою суму нескінченно спадної геометричної прогресії із знаменником а тому сума
Зауважимо, що
Розв'язуючи дане диференціальне рівняння із заданими початковими умовами, одержимо:
Оскільки то і сума заданого ряду
Loading...

 
 

Цікаве