WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля(пошукова робота) - Реферат

Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля(пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота на тему:
Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Степеневі ряди за степенями (x-a)
План
" Функціональний ряд.
" Область збіжності
" Рівномірна збіжність
" Степеневі ряди
" Теорема Абеля
" Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду
" Ряди за степенями
1. Функціональні ряди
1.1. Функціональні ряди. Область збіжності
Ряд
(13.22)
називається функціональним, якщо його члени є функціями від Надаючи певного числового значення, ми одержимо різні числові ряди. Одні з них можуть бути збіжними, інші - розбіжними.
Означення. Сукупність тих значень при яких ряд (13.22) збігається, називається областю збіжності функціонального ряду.
Очевидно, що в області збіжності ряду його сума є деякою функцією від . Тому його суму будемо позначати через
Через позначимо частинну суму ряду (13.22), тобто суму перших його членів
(13.23)
Тоді
, (13.24)
де
і називається залишком ряду. Для всіх значень в області збіжності ряду має місце співвідношення а тому
(13.25)
тобто залишок збіжного ряду прямує до нуля при
Приклад. Знайти область збіжності ряду .
Р о з в ' я з о к. Для знаходження області збіжності даного функціонального ряду використаємо радикальну ознаку Коші
. Ряд збігається при тих
значеннях при яких ця границя менша за одиницю, тобто
Дослідимо збіжність ряду на кінцях проміжку, тобто при і .
При : ряд розбігається.
При : ряд розбігається.
Областю збіжності даного ряду є проміжок
1.2. Рівномірна збіжність
Означення. Функціональний ряд (13.22), збіжний для всіх із області , називається рівномірно збіжним в цій області, якщо для довільного як завгодно малого числа існує такий незалежний від номер що при нерівність
або (13.26)
виконується одночасно для всіх із
Приклад 1. Розглянемо прогресію
вона збігається в відкритому проміжку Для довільного із залишок ряду має вигляд:
Якщо довільно зафіксувати, то, очевидно:
Це показує, що здійснити для всіх одночасно нерівність
(якщо )
при одному й тому ж номері неможливо. Отже, збіжність прогресії
в проміжку нерівномірна; це ж відноситься і до проміжків і зокрема.
Приведемо без доведення ознаку рівномірної збіжності ряду (13.22).
Ознака рівномірної збіжності. Для того, щоби ряд (13.22) рівномірно збігався в області необхідно і достатньо, щоби для кожного числа існував такий не залежний від номер що при і довільному нерівність
(13.27)
буде мати місце для всіх із одночасно.
Для встановлення на практиці рівномірної збіжності рядів користуються більш зручнішими в застосуванні достатніми ознаками, наприклад ознакою Вейєрштрасса.
Ознака Вейєрштрасса. Якщо члени функціонального ряду (13.22) задовольняють в області нерівностям
(13.28)
і числовий ряд
(13.29)
збігається, то ряд (13.22) збігається в рівномірно.
При наявності нерівності (13.28) говорять, що ряд (13.22) мажорується рядом (13.29), або що ряд (13.29) служить мажорантним рядом для (13.22).
Приклад 2. Розглянемо ряд
Р о з в ' я з о к. Оскільки нерівності виконуються на всій числовій осі, а числовий ряд збігається, то даний функціональний ряд рівномірно збігається на
1.3. Функціональні властивості суми ряду
Ми переходимо тепер до вивчення функціональних властивостей суми ряду, складеного із функцій, в зв'язку із властивістю останніх.
Cума скінченого числа неперервних на відрізку функцій є неперервна на цьому відрізку функція. Для суми ряду (що складається із безмежного числа доданків) ця властивість не зберігається. Тут необхідні додаткові вимоги на неперервні доданки.
Теорема 1 (про неперервність суми ряду). Якщо функції визначені та неперервні в проміжку і ряд (13.22) рівномірно збігається в до суми , то й ця сума буде неперервною в проміжку
Зауваження. Рівномірна збіжність фігурує в теоремі лише як достатня умова і не потрібно думати, що ця умова є необхідною для неперервності суми ряду. Наприклад, ряд
на відрізку має неперервну суму, тотожньо рівну нулю, хоча на цьому відрізку ряд збігається нерівномірно.
Теорема 2 (про почленний перехід до границі). Нехай кожна з функцій визначена в області і має скінченну границю при :
(13.30)
Якщо ряд (13.22) в області збігається рівномірно, то збігається і ряд, складений із цих границь:
(13.31)
і сума ряду (13.22) також має при границю, а саме:
(13.32)
Рівність (13.32) можна записати в такому вигляді:
(13.33)
Таким чином, при наявності рівномірної збіжності функціонального ряду, границя суми ряду дорівнює сумі ряду, складеного із границь його членів, або, іншими словами, допустимий граничний перехід "почленно".
Теорема 3 (про почленне інтегрування рядів). Якщо функції неперервні на відрізку і складений з них ряд (13.22) збігається на цьому проміжку рівномірно, то інтеграл від суми ряду (13.22) можна представити таким чином:
(13.34)
Рівність (13.34) можна записати ще так:
(13.35)
Отже, у випадку рівномірної збіжності функціонального ряду, інтеграл від суми ряду дорівнює сумі ряду, складеного із інтегралів
Loading...

 
 

Цікаве