WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду - Реферат

Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду - Реферат

Міністерство освіти і науки України
Київський державний торговельно-економічний університет
Коломийський економіко-правовий коледж
Реферат
З дисципліни "Вища математика"
Розділ: 7 "Ряди "
На тему:
"Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду"
Виконала:
Студентка групи Б-13
Комар Ірина
Перевірив
Викладач
Лугова Л.Б.
Коломия 2003
План
1. Розвинення функції у степеневий ряд.
Контрольні запитання
1. Яке розвинення в степеневий ряд функції ex.
2. Яке розвинення в степеневий ряд функції sin x.
3. Яке розвинення в степеневий ряд функції cos x.
4. Яке розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x).
5. Яке розвинення в степеневий ряд функції arctg x
Література
1. Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. - К.: Видавничий центр "Академія", 2002. - 432с.
Розвинення в степеневі ряди функцій, ex, sinx,cosx
Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=ex має вигляд
(1)
Нехай R- довільне фіксоване додатне число. Якщо x є (-R; R), то
(2)
Позначивши через , матимемо
(3)
За ознакою Д'Аламбера ряд а1+а2+…an+… збіжний, тому . Звідси дістанемо
(4)
для всіх x є (-R;R). Оскільки число R було взято довільно, рівність правильна для всіх Х є
За теоремою Д'Аламбера функція f(x)=ex в інтервалі , який розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд.
. (5)
Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=sinx має вигляд
(6)
Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа легкооцінюється зверху:
, (7)
Вище було показано, що для всіх R>0. Тому для всіх х є правильною є рівність
Звідси дістанемо
(8)
для всіх х є .
Функція f(x)=sin x в інтервалі розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд
. (9)
Аналогічно можна діяти при розвиненні в степеневий ряд функції f(x)=cosx.Однак простіше скористатись теоремою, згідно з якою степеневий ряд в інтервалі збіжності можна диференціювати почленно. Про диференціювавши почленно попередній ряд, матимемо (10)
Розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x). Правильною є рівність
(геометрична прогресія із знаменником, що дорівнює -x).Попередній степеневий ряд можна почленно інтегрувати на проміжку з кінцями 0 та x,де -1 x 1.Виконавши це дістанемо (11)
Оскільки
На підставі двох останніх рівностей знаходимо (12)
Розвинення в степеневий ряд функції arсtg x.Знаючи, що для х є
(-1;1) правильною є рівність .
(чому це так?),по членним інтегруванням її дістанемо
Оскільки,
остаточно маємо
Приклади
1. Розвинути функцію у степеневий ряд в околиці точки х0=2.
Виконаємо над заданою функцією тотожні перетворення, такі, щоб під знаком функції одержати вираз (х-2)
Тепер скористаємось формулою (10), ф яку замість х підставимо Тоді
.
Записаний ряд збігається до заданої функції при , тобто при
Таким чином,
2. Розвинути в ряд Макларена функцію
Маємо таке розвинення
Підставивши сюди замість х змінну -х, дістанемо
Віднявши від першої рівності другу, знайдемо
Loading...

 
 

Цікаве